n
n
n
n
n
i
i
ml
i
i
n
ml
J
1
3
1
2
3
2
)
1
(
lim
)
1
(
lim
Yigindini quyidagicha yozish mumkin:
3
)
1
(
)
1
(
)
1
(
....
3
2
2
1
1
0
)
1
(
1
+
−
=
−
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
∑
n
n
n
n
n
i
i
n
28
Haqiqatan ham, bevosita hisoblashlar shuni ko`rsatadiki, bu tenglik
n=1, n=2, n=3 va hokazolar uchun to`gri, demak, bu tenglik n=k uchun ham
tugri bo`ladi. Endi uning n=k+1 uchun ham o`rinli ekanligini ko`rsatamiz:
3
)
2
)(
1
(
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
+
+
=
+
+
+
−
=
+
+
−
=
−
∑
∑
+
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
i
i
i
i
k
k
Shunday qilib, ko`rsatilgan tenglik n ning hamma butun qiymatlari
uchun. jumladan,
∞
=
n
uchun ham to`gri ekan. U holda quyidagicha yozish
mumkin:
2
2
2
3
2
3
1
)
1
1
(
lim
3
3
)
1
(
)
1
(
lim
ml
n
ml
n
n
n
n
ml
J
n
n
=
−
=
+
−
=
∞
→
∞
→
Ingichga sterjenning, uning o`rtasidan o`tgan perpendikulyar o`qqa
nisbatan inersiya momentining formulasi ham huddi shunga o`hshash yo`l bilan
chiqariladi.
m massali bazi jismlarning simmetriya o`qlari (OO
1
) ga nisbatan inersiya
momentlarini hisoblash formulalarini tayor holda keltiramiz.
1.Uzunlikdagi ingichka sterjenning inersiya momenti:
2
12
1
ml
J
=
(36)
2.Bo`yi a va eni b bo`lgan brusokning inersiya momenti:
)
(
12
1
2
2
b
a
m
J
+
=
(37)
3.Tashqi radiusi R , ichki radiusi r bo`lgan halqaning inersiya momenti:
)
(
2
1
2
2
r
R
m
J
+
=
(38)
4.Radiusi
R
bo`lgan yupqa devorli halqaning (chambarakning) inersiya
momenti:
2
R
m
J
=
(39)
(38)formulada
R
R
r
=
=
deb olib, (39) formulani chiqarish oson.
5. R radiusli disk (silindr) ning inersiya momenti:
2
2
1
mR
J
=
(40)
(38) formulada deb olib, (40) formulani chikarish oson.
6. R radiusli sharning inersiya momenti:
2
5
2
mR
J
=
(41)
Agar jismning aylanish o`qi
O
O ′
simmetriya o`qiga parallel, lekin
simmetriya o`qidan d masofaga siljigan bo`lsa, parallel siljigan o`qqa nisbatan
inercija momenti
J ′
Shtayner teoremasi deb atalgan munosabat bilan
ifodalanadi:
2
md
J
J
+
=
′
(42)
bu erda J –jisming simmetriya o`qiga nisbatan inersiya momenti. Masalan,
ingichka strejenning uning uchidan o`ziga perpendikulyar o`tgan o`qqa nisbatan
inerciya momenti
2
2
2
3
1
)
2
1
(
12
1
ml
m
ml
J
=
+
=
′
29
ga teng bo`ladi.
Ilgarilanma harakat mehanikasi va aylanma harakat mehanikasining
quyidagi qonunlari (formulalari) ni juftlab solishtirailik: N`yutonning ikkinchi
qonunini aylanish dinamikasining asosii qonuni bilan, harakat miqdorining
o`zgarish qonunini harakat miqdori momentining o`zgarish qonuni bilan,
chiziqli tezlik ifodasini burchak tezligi ifodasi bilan
solishtiraylik.Taqqoslanayotgan qonunlarning tariflari va formulalarning
strukturalarida juda katta o`hshashlik ko`zga tashlanadi.
Ilgarilanma harakatni harakterlovchi har bir fizik kattalikka aylanma
harakatni harakterlovchi bir fizik kattalik mos keladi. Masalan, chiziqli tezlikka
burchak tezlik o`hshash, kuchga kuch momenti, massaga inersiya momenti va
shunga o`hshash. Bu o`hshash kattaliklarni ko`zgazmali bo`lishi uchun jadvalga
yozaylik:
Ilgarilanma harakat
Aylanma harakat
Vaqt t
Chiziqli yo`l s
Chiziqli tezlik
ϑ
Chiziqli tezlanish a
Kuch F
Massa m
Kuch impul`si Ft
Harakat miqdori m
ϑ
Vaqt t
Burchakli yo`l
ϕ
Burchakli tezlik
ω
Burchakli tezlanish
β
Kuch momenti M
Inersiya momenti J
Kuch momentining impul`si Mt
Harakat miqdori momenti J
ω
Aylanma harakatning hamma qonunlari orasida ilgarilanma harakat
qonunlarida qanday o`hshashlik bo`lsa, shunday o`hshashlik bor. Bundan
foydalanib, jadval yordamida aylanma harakat uchun harakat miqdorining
saqlanish qonuniga o`hshash qonunni yozamiz:
const
J
J
J
J
i
i
=
+
+
+
+
ω
ω
ω
ω
.....
3
3
2
2
1
1
(43)
bu erda J
i
va
i
ω
–izolyasiyalangan sistemani tashkil qiluvchi jismning
inersiya momenti va burchagi tezligi. (43) formula harakat miqdori
momentining saqlanish qonunini ifodalaidi:
Izolyasiyalangan sistemada barcha jismlarning harakat miqdori
momentlari yigindisi o`zgarmas kattalikdir.
Bu qonun ham harakat miqdorining saqlanish qonuniga o`hshab tabiat va
tehnikaning ko`p hodisalaridan namoyon bo`ladi. Birgina jismdan iborat
izolyasiyalangan sistema uchun saqlanish qonuni (43) shunday yoziladi:
const
J
=
ω
(44)
(44) formuladan jismning inersiya momenti o`zgarganda jismning aylanish
burchak tezligi o`zgaradi degan hulosa chiqadi: J ning ortishi (kamayishi)ga
ω
ning kamaiishi (ortishi) mos keladi. Biz ko`rayotgan qonunning bu natijasi
odatda aylanuvchi skameyka yordamida namoyish qilinadi. Qo`llari ikki yoqqa
yozilgan odam Jukovskii skameikasida turib ailanadi. Sungra u kullarini tez
tushiradi. Bunda uning inersiya momenti kamayib, aylanish burchak tezligi
30
ortadi. Akrobatikada "salto–mortale" usuli va baletda "piruet" usuli hamda
shunga o`hshashlar harakat miqdori momentining saqlanish qonuniga
asoslangan. Barcha erkin giroskoplar shu qonun asosida ishlaidi: katta tezlik
bilan aylanayotgan massa harakat miqdori momenti vektorini saqlaydi, yani
o`zining aylanish o`qini o`zgarishsiz saqlaydi. Er o`qi vaziyatining turgunligi,
uchib ketayotgan artilleriya snaryadi, miltiqdan otilgan o`qning bo`ylama
o`qining turgunligi, harakatlanayotgan velosipedning vertikal turgunligi va
shunga o`hshashlar ana shu qonunga asoslangan.
Yuqorida keltirilgan jadvaldan foydalanib, aylanma harakat qilayotgan
jismning kinetik energiyasi (W
k.ayl
) ifodasini ilgarilanma harakat qilayotgan
jismning kinetik energiyasi ifodasiga o`hshashligidan yozamiz:
2
2
.
.
ω
J
W
ayl
k
=
(45)
bu erda J –aylanayotgan jismning inersiya momenti, –aylanish burchak tezligi.
"Analogiya usuli" aylanma arakat qonunlariga qo`llashga haqli
ekanligimizni yana bir marta ko`rsatish uchun formulani chiqaraylik.
Aylanayotgan jismning r
i
radiusli aylana bo`ylab
i
ϑ
tezlik bilan aylanayotgan
massali bir zarrasining kinetik energiyasi quyidagiga teng:
2
2
2
2
2
2
2
ω
ω
ϑ
i
i
i
i
i
i
J
r
m
m
W
∆
=
∆
=
∆
=
∆
bu erda
i
J
∆
–zarraning inersiya momenti,
ω
–jismning aylanish burchak
tezligi. U holda jismni tashkil qiluvchi barcha zarralarning
i
W
∆
energiyalarining
yigindisidan aylanaiotgan jismning kinetik energiyasini hosil qilamiz:
2
2
2
1
2
1
.
ω
ω
J
J
W
W
i
n
n
i
ayl
k
=
∆
=
∆
=
∑
∑
Aylanish kinetik energiyasi hisobiga jism ish bajarishi mumkin. Bu ish
aylanish kinetik energiyasining o`zgarishi (kamayishiga) teng bo`lishi ravshan:
2
2
2
0
2
ω
ω
J
J
A
−
=
(46)
Bu erda
0
ω
va
ω
– boshlangich va ohirgi burchak tezliklari. Tehnikada
mashinalar (thaktorlar, kemalar, prokat stanlari va shunga o`hshashlar) ning bir
tekis yurishini ta`minlash uchun mahovikning kinetik energiyasidan
foydalaniladi: nagruzka (yuklanish) to`satdan ortganda mashina to`htab
qolmaydi, balki mahovikning aylanishi tufayli yigilgan kinetik energiya
hisobiga ish bajaradi.
Agar jism bir vaqtda ham ilgarilanma harakatda, ham aylanma harakatda
bo`lsa, uning kinetik energiyasi ilgarilanma harakatdagi kinetik eyergiyasi bilan
aylanishdagi kinetik energiyasi yigindisiga teng bo`ladi:
2
2
2
2
ω
ϑ
J
m
W
k
+
=
(47)
bu erda m va J – jismning massasi va inersiya momenti,
ϑ
va
ω
– uning
chiziqli va burchak tezliklari. Ko`p amaliy masalalarni echishda bu qoidani
nazarga olosh kerak.
| 