O`zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi

akslantirish operator deyiladi.
Ax  y
(x  X ,
y Y )

Umuman ^A operator ^X fazoning hamma yerida aniqlangan bo’lmasligi

mumkin. Bu holda Ax mavjud va
AxY
bo’lgan barcha
x X
lar to’plami ^A

operatorni aniqlanish sohasi deyiladi va D( A) bilan beligilanadi, ya‟ni:


D( A) {x  X : Ax Y}.

Agar ixtiyoriy
x₁, x₂  D( A)  X
elementlar va ixtiyoriy  kompleks son

uchun quyidagi tengliklar bajarilsa:

1. A(x₁  x₂ )  Ax₁  Ax₂
2. A(ax)  aA(x)


^A ga chiziqli operator deyiladi.
Chiziqli operatorlar uchun misollar.

1. 
   Faraz qilaylik
   

E  E₁
topologik soha. Operator A bu sohada x ni barcha

qiymatlar
x E
uchun quyidagi formula bilan berilgan bo’lsin:
AX  X

Sohani har bir element o’zini o’ziga aks ettiruvchi chiziqli operatorga chiqish yoki birlik operator deyiladi.

2. 
   Differensiallanuvchi funksiyalar sohasini
   

Da, b deb olsak, differensiallanuvchi

operator
Da,b sohada quyidagi formula bilan beriladi:

bu yerda


^{f (x)  Da,b},
Df (x) 
f (x)  Ca,b.
^{f (x)} .

bo’lgan funksiyalar to’plami
Ca,b
sohadan olinadi. Bu operatorni chiziqli

ekanligi uzluksiz hosilaga ega ekanligidan ko’rinib turibdi.

3. 
   Uzluksiz va chegaralangan funksiyalar sohasida
   

C(,)
A operator

funksiyani o’zgarmas
a ( a  consta)
intilish.

Af (x) 
A - operator ekanligini tekshirib ko’raylik:
f (x  a)

1. 
   A( f
   

 g)  ( f
 g)(x  a) 
f (x  a)  g(x  a)  A( f )  A(g)

funksiyalarni yig’indisi additiv haqidagi aksiomaga asosan quyidagi bajariladi.

2) Akf x  kf x  a  kA f x

3. 
   Bir jinsli aksiomasi ekanligi ko’rinadi. Bundan ^A operatorning chiziqli operator
   

ekanligi kelib chiqadi.

3. 
   Faraz qilaylik
   

E  E₁
 C0,1 0,1
oraliqdagi uzluksiz funksiyalar sohasi va

uni aksi
A : E  E₁ da quyidagi formula yordamida berilgan.

1
Af _ f (x)dx

0

Yuqori chegarasi o’zgaruvchi bo’lgani uchun bu funksiya uzluksiz funksiya bo’lib, differensiallanuvchi funksiya bo’ladi. Demak, aniq integral chiziqli funksiya. Bu akslantirish chiziqli operator deyiladi.

2. Chiziqli operator va uning matritsasi

Chekli chiziqli ^X fazoda
^{A } chiziqli operator berilgan bo’lsin, dim X   n .

Faraz qilaylik ^X fazoda
l₁ ,l₂ ,,l_n
bazis vektorlar.

Bularga asoslanib, quyidagilarni belgilab olaylik:
Al₁  a₁₁,a₂₁,a₃₁,,a_n1 
Al₂  a₁₂a₂₂a₃₂ ,, a_n2 
………………………..
Al_n  a_1n , a_2n , a_3n ,, a_nn 

bu yerda
Al₁ , Al₂ ,, Al_n
lar
l₁ ,l₂ ,,l_n
vektorlarning obrazlari.

Chiziqli operatorning l₁ ,l₂ ,,l_n
bazisdagi matritsasi quyidagicha bo’ladi




^{ a}11 ^a12 ^a1n ^
A  _ a₂₁ a₂₂ a_{2n }.
^{ a}n1 ^an 2 ^ann ^

Bu matrsaning ustunlari

 
Al₁ , Al₂ ,, Al_n obrazlarning koordinatalari hisoblanadi

va bunga berilgan bazisdagi chiziqli operatorning matritsasi deyiladi.
Shuni ham aytish kerakki n o’lchovli fazoda berilgan har bir chiziqli
operator uchun yagona n -chi tartibli kvadratik matritsa to’g’ri keladi yoki n  chi
tartibli kvadratik matritsa uchun n – o’lchovli fazodagi chiziqli operatorni to’g’ri kelishi isbotlangan.
Shu bilan quyidagi tenglikni yozish mumkin.




 ^Y₁ 
a a a
 ^X₁ 



11

12

1n

_


Y  AX ; Y  ^{Y2 }  ^ a a a
^{ X} 2 ^

 _ 
^ 21 22
2n ^_{  }

^{   a}n1^an 2 ^ann ^{ }
^Yn  ^{ } ^Xn 
Bu tenglik bir tomondan obrazni koordinatalari bilan proobrazni koordinatalari bilan bog’laydi va operatorni ^A matritsaga ta‟sirini ko’rsatadi.
Bazisni o’zgarishi bilan chiziqli fazo matritsa operatorini ham o’zgartiradi.

2

1
Faraz qilaylik, ^X fazoda l  ^l ,l
,,l
^ bazisdan l^'  l ^' ,l^' ,,l ^'  bazisga o’tsin. l

n

1

2

n
bazisdagi
A_l matritsa ^A operatori
l ^' bazisdagi
A _' matritsa operatori o’zaro

l
bog’lanish formulasi quyidagicha bo’ladi
A  P^1 A P ,
_l^' l l '  l l '

A  P
_{A P}1

^ ^'
 l l '

bu yerda
P _'



1

, P
l l '
l bazisdan
l' bazisiga o’tish matrsasi yoki teskarisicha.

Misol 1. Operator matritsasi yangi bazisda.
^X _n chiziqli fazoda harakatdagi ^A operator o’zini matritsasi bilan berilgan.

_ 1

A  ^{ 0}
2 3 4_


 3 2 0^

^ 4 5 11 0^


_ 5 4

3 2_

Vektor obrazini koordinatalarini topamiz
 ¹ 

 _1 



X
 
 ₂ 
 
 2
 
X ₄ chiziqli fazoga yangi bazisni kiritamiz

¹
¹
¹
¹

       
_{l ' }  ⁰ _{l ' } ¹ _{l ' } ¹ _{l ' } ¹
¹  ₀ ²  ₀ ³ ₁ ⁴ ₁
       
0 0 0
      ¹

^X vektorning koordinatalarini topamiz, obrazini koordinatlari ^{Y  AX}
matritsasi yangi bazisdan topiladi.

3. Chiziqli operatorni obrazlari va yadrosi

va operator

Bizga berilgan bo’lsin n o’lchovli chekli ^X fazoda harakatda bo’lgan

chiziqli operator.
Im A chiziqli operatorni obrazi ham chiziqli fazo ekanligi isboti

bor. Shunga asosan chiziqli operator obrazini o’lchoviga operatorni rangi deyiladi

va quyidagicha belgilanadi.

9
R A  K  dim ImA.

Chiziqli operatorning yadrosi deb, n o’lchovli ^X vektorlar fazosidagi nolli elementlar to’plami obraz deyiladi. Operatorning yadrosini quyidagicha belgilasak Kek ( A) :

Kek ( A) {x  X : A(x)  0}.
Chiziqli operatorning yadrosi chiziqli fazo bo’lib, yadro o’lchoviga chiziqli operatorning defekti deyiladi va quyidagicha belgilanadi
Def ( A) : d  Def ( A)  dim( Kek ( A))

_ 1 1




1
_{A  } 1 1
_ 1
_ 2 2
¹ 
1 1 _

1 2_
2 2^

2 3_
¹ 

₁ _va _ 
_{X }   _{Y }  ¹

 ₂ 
 
2
 ₀ 
 
0

   
vektorlarni operatorni yadrosiga tegishli ekanligini,

 ⁴
 
5 ^va
¹ 
 
2

esa uni obraziga tegishli ekanligini

_{u }  
v  ^{ },

 ₀ 
 
0
 ₃ 
 
4

   
tekshiramiz.