122
.
0
1
2
3
2
3
)
2
2
(
)
6
12
5
6
(
)
4
4
(1
)
15
18
4
(3
)
6
(2
1)
12
(20
4
)
3
(15
6
,
0
1
2
3
2
3
)
2
2
(
)
6
12
5
6
(
)
4
4
(1
)
15
18
4
(3
)
6
(2
1)
12
(20
4
)
3
(15
6
3
2
2
1
2
2
2
1
3
1
4
1
2
6
2
4
1
2
1
2
1
2
2
2
5
1
3
1
2
2
1
1
2
2
2
3
3
1
2
1
4
4
1
2
1
2
1
2
2
5
2
1
2
6
2
1
3
1
7
1
8
2
2
1
9
10
1
12
3
1
2
1
2
2
2
1
3
2
4
2
1
6
1
4
2
2
2
1
2
2
1
2
5
2
3
2
1
2
2
2
2
1
1
3
3
2
2
1
4
4
2
2
2
1
2
2
1
5
2
2
1
6
2
1
3
2
7
2
8
1
2
2
9
10
2
12
c
c
c
c
c
c
c
c
c
y
c
c
c
c
c
y
c
c
c
c
c
c
c
y
c
c
c
y
c
c
c
c
c
y
c
c
y
c
c
c
y
c
y
c
c
y
y
c
y
c
c
c
c
c
c
c
c
c
x
c
c
c
c
c
x
c
c
c
c
c
c
c
x
c
c
c
x
c
c
c
c
c
x
c
c
x
c
c
c
x
c
x
c
c
x
x
c
x
Абел теоремасига кўра, бу тенгламаларни аналитик усулда ечиш мумкин эмас. Биз
бу тенгламаларни параметрларнинг берилган қийматлари учун тақрибий ечиш
усулларидан фойдаланиб ечамиз.
Параметрларнинг
98
.
0
c
1
ва
02
.
0
c
2
қийматлари учун тенглама қуйидаги
кўринишга келади:
.
0
y
y
5.88
-
y
y
14.346
y
3.92
-
y
17.5886
-
-
y
5.7224
y
9.57098
y
2.68637
-
y
0.417991
-
y
1.07565
-
0.0115392
-
,
0
x
x
0.12
-
x
x
2.934
-
x
0.08
-
x
1.23504
x
1.9576
-
x
2.79415
x
1.07837
x
1.09315
-
x
0.919616
0.099144
12
10
9
8
7
6
5
4
3
2
12
10
9
8
7
6
5
4
3
2
Бу тенгламаларни алоҳида-алоҳида ечишимиз мумкин.
a.
Биринчи тенглама
0
x
x
0.12
-
x
x
2.934
-
x
0.08
-
x
1.23504
x
1.9576
-
x
2.79415
x
1.07837
x
1.09315
-
x
0.919616
0.099144
12
10
9
8
7
6
5
4
3
2
Бу тенгламанинг тақрибий ечимини топамиз. Бунинг
учун ечимлар жойлашган
оралиқларни топиб оламиз.
,
934
.
2
,...,
,
max
2
1
n
a
a
a
A
.
934
.
3
1
934
.
2
1
1
0
a
A
R
Демак, барча ечимлар
934
.
3
,
934
.
3
оралиқда жойлашган.
.
x
x
0.12
-
x
x
2.934
-
x
0.08
-
x
1.23504
x
1.9576
-
x
2.79415
x
1.07837
x
1.09315
-
x
0.919616
0.099144
12
10
9
8
7
6
5
4
3
2
0
f
f
Биз
12
2
1
0
,...,
,
,
f
f
f
f
функциялар системасини тузиб олиб кейин Штурм теоремасини
қўллаймиз.
f
f
0
1
f
2
f
3
f
4
f
5
f
6
f
7
f
8
f
9
f
10
f
11
f
12
f
-3.934 +
-
+
+
-
-
+
+
+
-
-
+
-
7
3.934
+
+
+
+
-
+
+
-
-
+
-
-
-
5
2
Демак,
x
нинг тенгламаси иккита ечимга эга.
Иккинчи тенглама
.
0
y
y
5.88
-
y
y
14.346
y
3.92
-
y
17.5886
-
-
y
5.7224
y
9.57098
y
2.68637
-
y
0.417991
-
y
1.07565
-
0.0115392
-
12
10
9
8
7
6
5
4
3
2
123
Бу тенгламанинг ҳам тақрибий ечимини топамиз.
Бунинг учун ечимлар
жойлашган оралиқларни топиб оламиз.
,
5886
.
17
,...,
,
max
2
1
n
a
a
a
A
.
18.5886
1
17.5886
1
1
0
a
A
R
Демак, барча ечимлар
5886
.
18
,
5886
.
18
оралиқда жойлашган.
.
y
y
5.88
-
y
y
14.346
y
3.92
-
y
17.5886
-
-
y
5.7224
y
9.57098
y
2.68637
-
y
0.417991
-
y
1.07565
-
0.0115392
-
12
10
9
8
7
6
5
4
3
2
g
Биз
12
2
1
0
,...,
,
,
g
g
g
g
функциялар системасини тузиб олиб кейин Штурм
теоремасини қўллаймиз.
g
g
0
1
g
2
g
3
g
4
g
5
g
6
g
7
g
8
g
9
g
10
g
11
g
12
g
5886
.
18
+
-
+
+
-
+
+
-
-
-
-
+
-
7
5886
.
18
+
+
+
-
-
-
+
+
-
+
-
-
-
5
2
Демак,
x
нинг тенгламаси ҳам иккита ечимга эга.
1847629341
-0.0960753
x
171550919,
-0.9798840
x
2
1
70760027.
0.94017268
y
,
3317967882
-0.0107695
y
2
1
(7) акслантиришнинг даври тўртга тенг бўлган даврий ечимлари:
.
70760027
0.94017268
847629341,
0.09607531
-
,
,
317967882
0.01076953
-
847629341,
0.09607531
-
,
,
70760027
0.94017268
71550919,
0.97988401
-
,
,
317967882
0.01076953
-
71550919,
0.97988401
-
,
2
2
1
2
2
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
Биз (7) акслантиришнинг бу ечимлардаги спектрини топамиз. Тўртта спектр
кўпайтмасининг, яъни мултипликаторининг модули бирдан кичик бўлиб
бундан
юқоридаги даврий нуқталар тортувчи эканлиги келиб чиқади.
References:
1. Devaney R. L. A First Course In Chaotic Dynamical Systems: Theory And Experiment.
Boston, (1992).
2. Lidong Wang, Heng Liu, and Yuelin Gao. Chaos for Discrete Dynamical System. Journal
of
Applied
Mathematics
Volume
2013,
Article
ID
212036,
4
pages,
http://dx.doi.org/10.1155/2013/212036.
3. Devaney R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. New York, (1989).
4. Ganikhodzhayev, R., Seytov, Sh.J. An analytical description of mandelbrot and Julia sets
for some multi-dimensional cubic mappings // AIP Conference Proceeding, Vol.2365,
Page.050006 (2021).
5. Ganikhodzhayev, R., Seytov, Sh.J. Coexistence chaotic behavior
on the evolution of
populations of the biological systems modeling by three dimensional quadratic mappings
// Global and Stochastic Analysis. Vol.8, No 3. Page. 41-45 (2021).
6. Ganikhodzhayev, R., Seytov, Sh.J., Rakhimova N.K. Mathematical modelling of the
evolutions of the populations in the connected two islands // Problems of computational
and applied mathematics. Vol.1 (31), Page.24-35. (2021.)
124
Abduxalilova Sh.Z. The simulations of the fractal figures with computer programs
THE SIMULATIONS OF THE FRACTAL FIGURES WITH COMPUTER PROGRAMS
Abduxalilova Shaxnoza Zafar qizi
Karshi state university, master's student shaxnozaabduxalilovazafar@gmail.com
Abstract.
In the present paper we investigate the simulations of fractal figures by
computer programming. In this paper we learn the developing computer program to obtain
fractal figures and apply them to some area of natural phenomena.
Key words.
geometric pattern, chaotic
nonlinear dynamical systems, fractals, Isaac
Newton, Mandelbrot set.
Annotatsiya.
Ushbu maqolada biz kompyuter dasturlash orqali fraktal raqamlarning
simulyatsiyasini o‘rganamiz. Ushbu maqolada biz fraktal raqamlarni olish va ularni tabiiy
hodisalarning ayrim sohalarida qo‘llash uchun ishlab chiqilayotgan
kompyuter dasturini
o‘rganamiz.
Kalit so‘zlar.
Geometrik shakl, xaotik chiziqli bo‘lmagan dinamik tizimlar, fraktallar,
Isaak Nyuton, Mandelbrot to‘plami.
Аннотация.
В настоящей статье мы исследуем моделирование фрактальных
фигур с помощью компьютерного программирования. В данной работе мы изучаем
развивающую компьютерную программу для получения фрактальных фигур и
применения их к некоторой области природных явлений.
Ключевые слова.
геометрический узор, хаотические
нелинейные динамические
системы, фракталы, Исаак Ньютон, множество Мандельброта.
Introduction.
At the present time “chaotic nonlinear dynamical systems” is the most
popular branch of the mathematical modeling. Many of real life phenomena are nonlinear.
Fractals are strictly dependence with the nonlinear phenomena. There was scientific view
that every real phenomenon is regular or stable at the time of Isaac Newton. Later Poincare
[2] observed many of the real phenomena are not regular i.e. they are “chaotic”. At first
time fractal figures observed on the computer by Benoit Mandelbrot with several
programmers of at the company IBM in 1980. Later appears the set of Mandelbrot [4]
which is fractal, the most important tool of the sets of Julia [1] and strictly depends on the
irregular phenomenon. Let
c
x
f
x
n
n
,
1
is
the mapping on
R
to itself.
Definition 1.
The set of points
c
x
f
x
x
n
n
n
,
|
1
is called the
orbit
of
0
x
for
c
x
f
n
,
mapping.
Definition 2.
If the set of points
c
x
f
x
x
n
n
n
,
|
1
if consist only one point then
0
x
is
called fixed point for
c
x
f
n
,
mapping.
Definition 3.
A complex geometric pattern exhibiting self-similarity in that small details
of its structure viewed at any scale repeat elements of the overall pattern.
