Annotation.
In this paper, the nonlinear separation method is used to construct the
automodel and approximate automodel equation for the heat dissipation equation in the
moving medium. In addition, a statement of the results obtained on the identification and
evaluation of the front for the given issue is presented.
Key words:
generalized solution, asymptotics, reference equation.
d
y
c
b
x
a
T
t
x
t
Q
,
,
0
:
,
sohada quyidagi ikki karra nochiziqli parabolik
tenglama uchun Koshi masalasini qaraylik:
)
1
(
2
,
1
,
,
,
,
3
2
1
i
R
x
u
t
x
u
u
x
t
v
x
u
x
u
u
x
t
u
N
i
i
i
i
l
i
p
k
i
m
i
i
i
d
y
c
b
x
a
x
u
x
u
,
,
0
0
,
0
(2)
0
,
,
,
,
,
,
2
1
2
1
t
t
d
t
u
t
c
t
u
t
b
t
u
t
a
t
u
(3)
bu yerda
N
R
l
p
m
0
,
1
,
2
,
1
-berilgan haqiqiy sonlar,
2
1
0
0
,
), i
,
C(
(t)
γ
i
i
u
x
t
v
,
,
-muhit
tezligi,
2
1
p
k
i
m
i
x
u
u
i
-issiqlik
o‘tkazuvchanlik
koeffitsiyenti,
y
x
u
mess
,
sup
,
0
,
y
x
u
u
qidirilayotgan yechim,
0
u
x
-boshlang‘ich harorat,
t
t
i
i
,
-manfiy bo‘lmagan funksiyalar,
1
-koeffitsiyent,
T
,
a
,
b, c, d
-berilgan sonlar,
(1) tenglama ko‘p o‘lchovli sohada chiziqsiz issiqlik tarqalish va muhit tezligi, shuningdek
konvektiv ko‘chish, chiziqsiz issiqlik o‘tkazuvchanlik, diffuziya, suyuqlik va gaz
filtratsiyalari, yer osti suvlari harakati kabi jarayonlarni tadqiq qiladi, (2) Koshi sharti, (3)
chegaraviy shart deyiladi. Ushbu tenglamani yechishning bir qancha usullari mavjud bo‘lib,
ulardan avtomodel yechim orqali tenglama yechish ko‘rib chiqiladi. Hozirgi kunda
nochiziqli issiqlik tarqalish jarayonlarini tadqiq qilishda avtomodel yechim tushunchasi
juda keng ommalashdi.
147
(1) tenglama qator fizik jarayonlarni ifodalaydi: chiziqli bo‘lmagan muhitda reaksiya
diffuziya jarayonini, bir jinsli bo‘lmagan chiziqsiz muhitdagi issiqlik tarqalish jarayonini,
politrapiya qonuni va boshqa chiziqli bo‘lmagan ko‘chishlarning mavjudligini ifodalaydi.
(1) tenglama uchun Koshi masalasi va chegaraviy masalalar bir o‘lchamli va ko‘p
o‘lchamli holatlarda ko‘plab avtorlar tomonidan kuzatilgan [1-5].
1
da
u
k
parametrning ayrim xususiy qiymatlari [2-4] da o‘rganilgan.
0
u
yoki
0
u
bo‘lganda (1) tenglama buzilgan tenglamadir. Shuning uchun (1)
tenglama klassik yechimga ega bo‘lmaganligi sababli umumiy yechimni qidiramiz. Berilgan
tenglamaning parametrlar qiymatlariga mos holdagi yechimlari xususiyatlarini,
yechimning lokallashishini, yechim asimptotikasini o‘rganishimiz lozim. (1) tenglamaning
1,
0
1,
1,
1,
(t) 1
,
1
m
,
2
p
bo‘lgandagi xususiy hollardagi
yechim xossalari [8, 9-11, 12, 13] ishlarda yetarlicha o‘rganilgan.
Agar
0
,
x
t
u
(aynan 0 ga teng bo‘lsa) bo‘lsa, issiqlik tarqalishining cheklilik
hodisasi ro‘y beradi [8-10]. Yutilish koeffitsiyenti mavjud bo‘lganda esa “orqa” front
hodisasi ro‘y berishi mumkin, ya’ni chap front ma’lum vaqtdan keyin to‘xtashi va muhit
harakati bo‘ylab harakat qilishi mumkin.
Quyida (1) tenglama uchun avtomodel va taqribiy avtomodel tenglama qurish uchun
nochiziqli ajratish usuli keltirilgan. Avtomodel va taqribiy avtomodel ko‘rinishga kelish
uchun avval quyidagi oddiy tenglamani yechamiz:
(4)
(1) tenglama uchun yechimni quyidagi ko‘rinishda qidiramiz:
( , )
( ) ( ( ), )
u t x
u t
t x
(5)
Bunda,
1/(
1)
0
( )
1
( )
t
u t
T
d
(1) tenglamaning yechimi, (5) ni (1) ga
quysak, biz taqribiy avtomodel tenglamaga ega bo‘lamiz.
1/
( ( ), )
( ),
p
x
t x
f
,
quyidagi taqribiy avtomodel tenglama hosil bo‘ladi:
2
1
(
2)
( ) ( )
(
)
0
p
m
m p
d
df
df
df
f
t
t u
f
f
d
d
d
p d
(6)
1
1
1
1
1
1
( )
(
)
,
,
,
(
3)( )
.
1
3
p
p
p
f
a b
b
p
m
p
p
m
p
(
2)
( ) ( )
m p
t
t u
yetarlicha kichik bo‘lsa, bu hadni tashlab yuborilganda avtomodel
tenglama hosil bo‘ladi.
2
1
p
m
d
df
df
df
Lf
f
d
d
d
p d
(7)
Agar
( )
(
)
t
T
t
bo‘lsa,
1
(
)
0
(
1)(
2)
Lf
f
f
m
p
(8)
kelib chiqadi.
( )
t
funksiya esa quyidagicha aniqlanadi:
( )
du
t u
dt
148
3
0
( )
( )
t
p m
t
u
y dy
(9)
Agar
(
2)
1
( ) ( )
2
m p
t
t u
bo‘lsa,
1
2
Lf
f
(10)
ega bo‘lamiz.
( , )
( , ),
( , )
( ) ( )
u t x
u t x
u t x
u t f
(11)
0
(0, )
( ),
u
x
u x
x
R
Hosil qilingan
( , )
u t x
esa
(
2)
1
( ) ( )
2
m p
t
t u
bajarilganda topilgan taqribiy
avtomodel yechim bo‘ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati
1. Aripov M. Khaydarov A., Sadullaeva Sh.A. Numerical modeling of some processes in a
nonlinear moving media // «Илм сарчашмалари», №1, 2007, стр. 20-26.
2. Aripov M., Rakhmonov Z.R. Asymptotic behavior of self-similar solutions of a
nonlinear problem polytrophic filtration with a nonlinear boundary condition // Jour.
Comp. Tech., 2013, v.18, 4, 50-55.
3. Aripov M., Sadullaeva Sh. A. Properties of the solutions of one parabolic equation of
non-divergent type // Proceedings of CAIM 2003. vol. 2, 130-136.
4. Aripov M., Sadullaeva Sh. A. To properties of the solutions of one parabolic equationof
not divergent type // Calculation Technology 2003. Part IV, 72-78.
5. Арипов М.М., Джаббаров О.Р. Оценка и асимптотика решений решение для
уравнения параболического типа с двойной нелинейностью с демпфированием //
Бюллетень Института Математики, 2020. – № 3. – С. 108-118. (01.00.00, № 4)
6. Арипов М.М., Джаббаров О.Р. Пространственная локализация решении
уравнения параболического типа с двойной нелинейностью и демпфированием //
Проблемы вычислительной и прикладной математики, 2020. – № 4(28). – C. 58-65.
(01.00.00, №9)
7. Aripov M.M., Mukimov A., Djabbarov O.R. On the properties of a radially symmetric
self-similar solution of a nonlinear heat conduction equation with a source // Journal of
Physics: Conference Series, Generel Physics and Astronomy. 2021 J. Phys.: Conf. Ser.1789
012010. (№3 Scopus IF=0.21)
8. Aripov M.M., Djabbarov O.R. Estimate and asymptotic of the solution for the p-
Laplacian parabolic equation double non-linear type with damping // Journal of Physics:
Conference Series, Generel Physics and Astronomy. 2021. J. Phys.: Conf. Ser.1901 012030.
(№ 3 Scopus IF=0.21)
9. Aripov M.M., Djabbarov O.R., Sh.Sadullaeva. Mathematic modeling of processes
describing by double nonlinear parabolic equation with convective transfer and damping
// AIP Conference Proceedings, 2021, 2365, 060008. (№3 Scopus IF=0.189)
10. Джаббаров О.Р. Математическое моделирование процессов диффузии с
переменным коэффициентом демпфирования с использованием ВКБ решений //
Проблемы вычислительной и прикладной математики, 2021. 6/1(37). – С. 64-74.
(01.00.00, №9)
11. Aripov M., Djabbarov O.R. On qualitative properties of solutions of double nonlinear
parabolic equation with damping variable coefficient // O‘zbekiston Respublikasi Fanlar
akademiyasining ma’ruzalari jurnali, 2021. – №6. – P. 3-6. (01.00.00, №7)
149
Djabbarov O.R., Ruzimurodova L.B. Boshqaruvda qarorlar qabul qilish masalalarini
kompyuterli modellashtirish
|
