|
Reja: I. Kirish II. Asosiy qism
|
| bet | 8/9 | | Sana | 24.11.2023 | | Hajmi | 488,88 Kb. | | #105142 |
Bog'liq tayyorqu1-teorema. Agar bo’lsa,
cheksiz ko’paytma faqat va faqat
sonli qator yaqinlashganda yaqinlashadi.
Isbot.Teorema isbot bo’lishi uchun 2-tasdiqqa ko’ra (15) qator faqat va faqat
qator yaqinlashganda yaqinlashishini ko’rsatish yetarli.
Bizga ma’lumki, (15) qatorning va hozirgina ko’rganimizdek (14) cheksiz ko’paytmaning ham yaqinlashishi uchun zaruriy shart hadlarning nolga intilishidir. Shuning uchun biz
deb hisoblashimiz mumkin.
Xususan,biror nomerdan boshlab
desak bo’ladi.
Bunday shartni qanoatlantiruvchi lar uchun esa quyidagi
qo’sholoq tengsizlik o’rinli.
Shunday ekan, talab qilinayotgan tasdiq umumiy taqqoslash alomatidan kelib chiqadi.(2-teoremaga qarang).
Eslatma .Xuddi shunga o’xshash tasdiq barcha lar manfiy bo’lganda ham o’rinli , chunki bu holda ,agar deb belgilasak, yetarlicha katta k nomerlar uchun
tengsizlik bajariladi.
2-tasdiq yordamida cheksiz ko’paytmalar uchun absolyut yaqinlashish tushinchasini kiritish mumkin. Chunonchi, agar (12) qator absolyut yaqinlashsa,(1) cheksiz ko’paytma absolyut yaqinlashadi deyiladi.1-teorema cheksiz ko’paytma ning bunday ma’noda aniqlangan absolyut yaqinlashishi uchun navbatdagi zaruriy va yetarli shartni olishga imkon beradi.
2-teorema. (14) cheksiz ko’paytmaning absolyut yaqinlashishi uchun(15) sonli qatorning absolyut yaqinlashishi zarur va yetarli
Isbot. Barcha yetarlicha katta nomerlar uchun o’rinli bo’lgan quyidagi
qo’shaloq tengsizlikdan va umumiy taqqoslash alomatidan kelib chiqadi.
4. Tub sonlarning zamonaviy nazaryasida quyidagi
tenglik orqali aniqlangan Rimanning zeta-funksiyasi nihoyatda muhim rol o’ynaydi. Bu yerda kompleks qiymatlar ham qabul qilishi mukin bo’lgan son: Bundan tashqari, butun sonning kompleks darajasi kabi aniqlanib, istalgan haqiqiy t uchun
deb hisoblanadi
Ravshanki, (17) qator Re s>1 bo’lganda , ya’ni agar desak, ochiq yarim tekislikda yaqinlashadi.
Rimanning zeta-funksiyaning asosiy xossasi da o’rinli bo’lgan quyidagi
formuladan iborat,bu yerda cheksiz ko’paytma barcha tub sonlar bo’yicha olib boriladi. Bu formula birinchi marta Leonard Eyler tomonidan ning haqiqiy qiymatlari uchun isbotlangan.
(18) ayniyatning isboti cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hadlari yig’indisi uchun o’rinli bo’lgan quyidagi formulaga asoslangan:
Haqiqatan, bu tenglikni tub sonining turli qiymatlarida yozib olib, ularni o’zaro ko’paytirsak,hosil bo’lgan ifodaning chap tomonida (18) cheksiz ko’payt-ma bo’lib, uning o’ng tomonida esa quyidagi
ko’rinishida yozish mumkin bo’lgan barcha hadlar yig’indisi turadi.Bundan, agar har bir butun k sonini yagona usulda tub sonlar darajalarining ko’paytmasi:
sifatida yozish mumkinligini hisobga olsak, talab qilingan (18) ayniyatni olamiz.
Sodda almashtirishlar yordamida
ekanini ko’rsatish mumkin.Bunda orqali, odatdagidek, sonining butun qismi belgilangan. Ravshanki, bu tenglikdagi,xosmas integral bo’lganda yaqinlashadi.Bundan ko’rinadiki,, oxirgi ifoda da (17) tenglik orqali aniqlangan Rimanning zeta-funksiyaning tekislikka davomini berar ekan.
Rimanning mashhur gipotezasi quyidagidan iborat: zeta-funksiyaning yarim tekislik-dagi nollari vertical to’g’ri chiziqda joylashgan.Bu gipotezani isbotlashga matematik-lar bir yarim asrdan beri urinishadi.Agar u isbot bo’lsa, (gipoteza to’g’riligiga hech kimda shubha yo’q), u zeta-funksiyasining (18) Eyler ko’paytmasi ko’rinishidagi ifodasi bilan birga, sonlar nazariyasining ko’pgina muhim masalalarini yechishga imkon bergan bo’lar edi.
|
| |
