Misollar.
1)
Xususiy ko’paytmalarini ko’rsak:
.
demak, cheksiz ko’paytma yaqinlashuvchi va uning qiymati ga teng.
2) Vallis fo’rmulasi
.
ning sonini cheksiz ko’paytmaga yoyishga teng kuchliligi ravshan:
Vallis formulasidan quyidagi
formulalar xam kelib chiqadi.
Cheksiz ko’paytma haqida teoremalar.
Cheksiz ko’paytma (2) da birinchi ta xadni tashlab, cheksiz qatorning qoldig’iga o’xshash, qoldiq ko’paytma
.
ni xosil qilamiz.
1Agar (2) ko’paytma yaqinlashuvchi bo’lsa, istalgan da (4) ko’paytma ham yaqinlashuvchi boladi; aksincha, (4) ko’paytmaning yaqinlashuvchiligidan berilgan (2) ko’paytmaning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Shunday qilib,cheksiz ko’paytma bo’lgan xolda xam.uning chekli sondagi boshlang’ich ko’paytuvchilarini tashlash yoki boshlang’ich qismiga yangi (0 dan farqli) ko’paytuvchilar qo’shish,uning uzoqlashuvchi yoki yaqinlashuvchi bo’lishiga ta’sir qilmaydi.
. Agar (2)cheksiz ko’paytma yaqinlashuvchi bo’lsa, u xolda
.
bo’ladi.
Bu
tenglikdan va ning ga intilishidan kelib chiqadi.
. Agar (2) cheksiz ko’paytma yaqinlashuvchi bo’lsa,u holda
.
.
bo’ladi.
Xaqiqatdan xam, bilan birga xam ga intiladi, demak,
.
.
Cheksiz ko’paytmalarning xossalari cheksiz qatorlarning xossalariga o’xshash.
. (2) cheksiz ko’paytma yaqinlashuvchi bo’lishi uchun
qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi zarur va yetarli.
Bu shart bajarilsa va qatorning yig’indisi L bo’lsa, u holda
bo’ladi.
(5) qatorning xususiy yig’inisini bilan belgilab,
.
ni xosil qilamiz.
Logerifmik va ko’rsatkichli funksiyalarning uzluksizligidan, chekli musbat limit ga intilganda ning ga intilishi va, aksincha, agar chekli limit ga ega bo’lsa, uchun limit bo’lishi kelib chiqdi.
Cheksiz ko’paytma (2) ning yaqinlashuvchi bo’lish-bo’lmasligini tekshirganda
.
deb olib, uni
. (2*)
ko’rinishda, (5) qatorni esa
(5*)
ko’rinishda yozib olish ko’pincha, qulay bo’ladi.
Bunday belgilashlarni nazarda tutib, quyidagi sodda teoremaga ega bo’lamiz:
. Agar, xech bo’lmaganda yetarli katta larda
.
bo’lsa, (2*) cheksiz ko’paytmaning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun
.
qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi zarur va kifoyadir.
(2*) cheksiz ko’paytmaning ham, (6) qatorning ham yaqinlashuvchi bo’lishi uchun, xech bo’lmaganda,
(7)
bo’lishi zarur; bu shart bajarilgan deb faraz qilaylik. U holda
.
munosabat o’rinli bo’ladi. Demak, (5*) va (6) qatorlarning ikkalasining ham hadlari, biror joydan boshlab, aniq bir ishorani saqlaganligiklari sababli, qatorlarni taqqoslashdagi ushbu (agar
limit mavjud bo’lsa, u holda bo’lganda (B) qatorning yaqinlashuvchi bo’-lishligidan,(A) qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi, bo’lganda esa birinchi qatorning uzoqlashuvchi bo’lishligidan ikkinchi qatorning uzoqlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi.
(A)
(B) )
teoremaga asosan, bu qatorlar bir vaqtda uzoqlashuvchi yoki yaqinlashuvchi bo’ladi. Bundan, . ga ko’ra, biz da’vo xam kelib chiqadi.
Cheksiz ko’paytma 0 ga “uzoqlashgan” hol haqida to’xtab o’taylik.
(2)[yoki (2*)] cheksiz ko’paytma nol qiymatga ega bo’lishi uchun (5)[yoki (5*)] qator yig’indiga ega bo’lishi zarur va yetarli.
Xususan, agar bo’lib, (6) qator uzoqlashuvchi bo’lsa, shunday bo’ladi.
Bayonning oxirida (2) [yoki (2*)] cheksiz ko’paytma bilan (5)[yoki (5*)] qatorning orasidagi bog’lanishni, cheksiz ko’paytmaning absalyut yaqinlashishi haqida tushunchani kiritish uchun tadbiq qilaylik.
Agar cheksiz ko’paytma hadlarining logarifimlaridan tuzilgan tegishli qator absolyut yaqinlashuvchi bo’lsa, ko’paytma absalyut yaqinlashuvchi deyiladi. Absolyut yaqinlashuvchi cheksiz ko’paytmalar o’rin almashtirish xossasiga ega bo’lib, absolyut yaqinlashuvchi bo’lmagan ko’paytmalar bu xossaga ega emas.
(2*) cheksiz ko’paytmaning absolyut yaqinlashuvchi bo’lishi uchun, (6) qatorning absolyut yaqiinlashuvchi bo’lishi zarur va yetarli.
Xulosa.
Xulosa qilib shuni aytish kerakki, kurs ishimni yozish davomida “Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar” mavzusi bo`yicha yetarlicha bilim va ko’nikmaga ega bo`ldim. Bu mavzu mohiyatini anglab, mavzu bo`yicha misollarni yechishni o`zlashtirdim. Turli xil adabiyotlardan foydalanishni o`rgandim va shu adabiyotlardan foydalangan holda mavzuning mohiyatini yoritishga harakat qildim.
Bundan tashqari turli xil ta’rif, teoremalarning isbotlarini ham tushunib, yetarlicha ko`nikma hosil qildim.
Foydalanilgan adabiyotlar:
Sh. O. Alimov , R. R. Ashurov. Matematik tahlil 2-qism – Toshkent,
« Turon – Iqbol » -2017.
Демидович Б. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Москва, «Наука», 1990.
Ильин В.А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, т. II- М..,
Наука, 1980.
4.Азларов Т.А Мансуров Х , Математик анали
|
