Majburiy tebranish. Rezonans

Sistemaga tashqi davriy o’zgaruvchi
F  F₀ cos  t
kuch ta’siri ostida bo’lsin. U holda harakat tenglamasi
m^x^   x^  kx  F₀ cost

(1)
(2)

0
ko’rinishga ega bo’ladi. Erkin tebranish chastotasi  ²  ^k
m
ni kiritsak, (2) ni qayta

quydagicha yoza olamiz:
^x^  ^


x^  ₀



0
² x  F

cost

(3)

m
Bu tenglamani integrallashda chiziqli differensial tenglamalar nazaryasidagi

quydagicha teoremadan foydalanamiz: Agar
g (t)
bir jinsli bo’lmagan (3)

tenglamaning xususiy yechimi,
f (t, A, B)

m
^x^  ^
x^  ₀

10. 
     0
    

(4)

Bir jinsli tenglamaning yechimi bo’lsa,

g(t) 
f (t, A, B)

yig’indi bir jinsli bo’lmagan tenglama integrali hisoblanadi. O’tgan temada (4) tenglamaning yechimini topgan edik:

_  _{t }
k  ^{2 }

f (t, A, B)  e
^2m  ^Acos
_

• 
  B sin
  

^{ t} 
m 4m² _
(5)

Sistemaga ta’sir etuvchi kuch  chastotalik davriy funksiya bo’lgani uchun
g (t)

xususiy yechim ham  chastota bilan tebranuvchi davriy bo’lmog’i zarur. (3)

tenglamaga x^ va
^x^
hosilalar kiritilgani uchun
g (t)
yechimni birgina sinus yoki

birgina kosinus funksiyali yechim bo’la olmaydi. Shu sababli
quydagicha tanlab olamiz:
g (t)
yechimni

bundan
(7) ni (3) ga quyamiz:

g(t)  x(t)   cos  t  q sin  t
x^(t)    sin  t  q cos t
^x^(t)   ²  cos t  q sin  t
(6)
(7)

  ²  cos t  q sin t ^   sin t  q cos t  ²  cos t  q sin t ^F0 cos t
m m

cost
va sin t
funksiyalar oldidagi koeffisentlarni alohida-alohida yozamiz:

m
yoki
0 _m

 q ²  ^

m


p  q₀
²  0
(8)

p(
²   ² )  ^ q  ^F0

⁰ m m

(9) dan q ni topamiz:
 p ^   (
m ^0
2   ² )q  0
(9)

va (8)ga quyamiz:
q  ^{ } 

0
^m  ²   ²
(10)

mF₀ ₀   
² 2

(11)

0
m² ( ²   ² )²   ² ²

(11) dan foydalanib, (10) ni qayta yozamiz :
q 

F₀

0
m² (
Agar (6) da quydagicha almashtirish
²   ² )²   ² ²

p  a cos,
kiritsak, (6) ni qayta yozishimiz mumkin:
q  a sin

Bu yerda

g (t)  a cos( t  )

  arctg ^q
m
a 
 arctg





m(


0
²   ² )
(12)

(13)

Bundan bir jinsli bo’lmagan (2) tenglama yechim quydagicha ko’rinishga yega bo’ladi:

x(t)  Ce
_  _t
2m

cos(
  )  ^F0 cos(t   )

(14)

Yechimning birinchi hadi so’nuvchi davriy tebranishni ikkinchi hadi  chastotalik stasionar tebranishlarni ifodalaydi.

Stasionar holatga to’g’ri keluchi xususiy yechim vektorli diagrammadan

0
foydalanib oson topish mumkin. Bunig uchun tashqi davriy kuchni ko’rinishda yozib, yechimni
F  F e^it

_{x  ae}i (t  )
tariqasida axtaramiz. U holda (2) tenglama

m
^x^  ^
x  ₀
² x  ^F0
m

uning yechimi
a( ²  ^ i  
m <sup>0


2</sup> _)eit 


_ ^F0 _e^it
m

(15)

ko’rinishga ega bo’ladi. Bundan ko’rinadiki  majburiy tebranuvchi kuch va majburiy tebranish o’rtasidagi fazalar farqi hasoblanadi.(15) ni yoza olamiz:

a^(
²   ² )  i ^{ }  ^F0 e^i

(16)

_ 0
m ^_ m

Bu tenglamaning nominal qo’shimchasi quydagicha bo’ladi:

a^(
²   ² )  i ^{ } 
^F0 _e^i
(17)

_ 0
m ^_ m

16. 
    va (17) larning chap tomonlarini va o’ng tomonlarini mos ravishda o’zaro
    

ko’paytirib olamiz.
a 

Diagrammadan



tg  ^m  ^
(18)

0
 ²   ² m( ²   ² )
0

0
Shunday qilib ko’ramizki, (13) da ampilituda ham, (18) da faza ham  ²   ²

ayirmaga bog’liq bo’lar ekan. Juda sekin tebranishlar, ya’ni
  ₀
uchun

tg  0
demak
  0
juda tez tebranishlar
(₀  )
uchun



tg  0
manfittomon

demak
  
chastotalar o’zaro teng
(₀  )
bo’lganda   ^
2
bo’ladi.

Agar majburiy tebranish chastotasi so’nmovchi tebranishning xususiy

chastotasiga teng bo’lsa ₀  
rezonans hodisasi paydo bo’ladi. So’nish tamoman

mavjud bo’lmaganda (  0) edi rezonans paytida ampilituda cheksiz katta
qiymatga ega bo’lar edi. Bu holat rezonans harakati deyiladi. Ishqalanish mavjud bo’lganda ampilitudaning maksimal qiymati ( (₀  ) bo’lganda )

Bundan
a  ^F0 max _

F₀  ₀ a_max
U holda (13) ni kvadratga ko’tarib, (19) dan foydalanamiz:
(19)

^{ 2 2a 2}  ²
_a ² _ 0 max _{ a}

m² (
²   ² )   ² ²
 ²   ²
_ max
(20)

0

0
Rezonans yaqinida   ₀  x
m² ( ⁰ )²   ( )^2
0 ^0
almashtirish o’tkazsak va

0
^  1,  
₀
 2,(₀
²   ² )  (
 )(₀
 )  2x

2
a ^amax
 _ 2
4m² x²   ²

(21)

Bu yerda
a ² _ 1

bo’lganda

 ² _ 1

yoki  ^

bo’ldi, ya’ni

2
^amax ²
4m ² x²   ² 2 ^x 2m

  
_  T
_  2 1 _  _

Bundan
⁰ 2m T
2m  T 2 ⁰

  ₀
_0
 
2
(22)

Shunday qilib quydagi natijalarga ega bo’lamiz: majburiy tebranishda ampilituda kvadratining o’zgarishi maksimal qiymatining yarmiga teng bo’ladigan nuqtada chastota va xususiy chastota o’rtasidagi ayirmaning xususiy chastotaga nisbati
logarifmik dikrimentning 2 ga nisbatiga teng bo’ladi.
Sistemada majburiy kuch ta’siri ostida hosil bo’luvchi stasionar tebranish paytida uning energiyasi o’zgarmaydi. Chunki sistema tomonidan tashqi kuch manbaidan uzluksiz yuritib turadigan energiya o’zgarmaydi. Chunki sistema tomonidan tashqi kuch manbaidan uzluksiz yutulib turadigan energiya ishqalanishini yengishga sarf bo’ladi. Agar vaqt birligi ichida sistema tomonidan

yuritiladigan energiyani
I ()
desak, u
I ()  2

Formula bilan aniqlanadi. Bu yerda  - tebranish davri bo’yicha o’rtachlangan dispersiya funksiyasi. Bu funksiya bir o’lchamli harakat uchun quydagicha aniqlanadi:

Agar tebranish
qonun bilan o’zgaradi desak,
   mx^{ 2}
x  a cos( t  )
x^  a sin( t  )

bo’ladi. Agar olsak
sin ² ( t  ) funksiya o’rtacha qiymatining


I ()   ma² ^2
1 teng ekanligini hisobga
2

bo’ladi. Rezonans yaqinida
^{F 2} 

I (x)  m
² _a ² _ 0
(23)

bu yerda

_{ } 
2m
⁰ 4m

, x    ₀

x²  ²

Energiyaning sistema tomondan yutilishini ifodalovchi (23) bog’lanish dispersiya qonuni deyiladi.

I (x) ning o’zining

10. 
     0
    

nuqtadagi qiymatiga nisbatan ikki marta kamayadi.

23. 
    dan ko’ramizki
    

I (x) _ 1
qiymati
x  
nuqtalarga mos keladi.
I (0) ~ ¹

I (0) 2 
bo’lganidan  qancha kichik bo’lsa, rezonans egrilik shuncha keskin va baland bo’lladi. Lekin egrilik o’rab olgan yuza o’zgarmas qoladi. Haqiqatdan,


^{ F 2  } dx ^{k 2}
_ I (x)dx  ⁰ _  ⁰

_ 4m _ x   4m

bu yerda




^ dx 

ekanligini hisobga oldik.
^ x²   ^ 