Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

d ₂
 2 ( ^ )²


mv ²
sin ₂

2
cos³ 
d ₂
 ( ^ )²


mv ²
d₂

2
cos³ 
(4)

Tushuvchi zarralarning bu tizimdagi differensial sochilish kesimini tavsiflovchi formulalar umumiy holda juda murakkab ko’rinishga ega bo’ladi. Shuning uchun faqat quyidagi ikkita xususiy hol bilan cheklanamiz.
Agar sochuvchi zarraning massasi sochiluvchi zarraning massasiga nisbatan

juda ham katta bo’lsa ya’ni
m₂  m₁ , u holda
 ~ 1
va keltirilgan massa
m ~ m₁

bo’lganligi uchun sochiluvchi zarraning differensial sochilish kesimi quyidagicha topiladi

d ₁
 ( ^ )²
4E
d_1
4 
(5)

¹ sin ¹
2

Bu yerda

5. 
   _ m v²
   

tushuvchi zarraning energiyasi.

1 
1 ₂

Agar to’qnashuvchi zarralarning massalari bir xil bo’lsa, sochilishning differensial kesimi quyidagiga teng:
  2₁ va

^  ^2
cos
^  ^2
cos

d ₁  2 ^{
 1} d₁  <sup>


 1</sup> d₁

(6)

 _E 
sin ³ 
 _E 
sin ⁴ 

 1  1  1  1
Agar to’qnashuvchi zarralarning massalari bir xil va ular aniy bo’lsa, sochiluvchi va sochuvchi zarralarni farqlashning ma’nosi yo’q. Shuning uchun

barcha zarralarning effektiv kesimini
d ₁
va d ₂
ni qo’shib
₁ va  ₂

burchaklarni  bilan almashtirib, quyidagi ifodani hosil qilamiz:
^{  }2  ^{1 1} 

d ₁  ^ _E
^{ } sin ⁴  ^ cos⁴  ^{ cos d}
(7)

 1  ^{ }
endi (2) formuladan foydalanib sochilgan zarralarning effektiv kesimi bilan ularning to’qnashuv oqibatida yo’qotgan energiyasi orasidagi bog’lanishni topamiz. Buning uchun M tizimdagi sochilish burchagi va tinch turgan zarrachaning sochilishdan keyingi tezligi orasidagi quyidagi formulani esga olish yetarli:



v
_' 2m₁
² m  m
v sin ^ .
 ₂

1 2
Demak, bu zarracha oladigan va sochiluvchi zarra beradigan energiya quyidagiga teng:
_{ } m v'² _ 2m² _{2 2} 


2 2 _{v sin}
2 m₂ 2

endi oxirgi ifodadan
sin  / 2
ni  orqali ifodalab, sochilishning differensial

kesimi uchun quyidagi ifodani topamiz:

d  2
 ² d
m v²  ²
(8)

2 
Bu formula sochilishning differensial kesimini sochiluvchi zarra yo’qotgan
2m²v²

energiya orqali topish imkonini beradi. Ayonki, bu energiya noldan ifoda bilan aniqlanuvchi maksimal qiymatgacha o’zgaradi.
Nazorat savollari

1. 
   Markaziy maydonda sochilishni tushuntirib bering
   
2. 
   Rezerford formulasi yozing.
   
3. 
   Sochilishning differesial kesimi nima ?
   
4. 
   Sochilish burchagi nima ?
   

^ max ^ 
m₂

minimal qiymatida sodir bo’ladi. Agar bu minimum
q  q₀
nuqtada mavjud bo’lsa,

^ u ^{ }  ²u ^{
 }  0 va ^{ }  0
^ _q ^  _q ² 

0

0
^{ qq  }qq

bo’ladi. Bu shartning ikkinchi hisoblanadi. Berilgan holda
q  q₀ nuqtada muvozanatning turg’unlik sharti

L 
a (q) q^{ 2}
2

• 
  u (q)
  

Lagranj funksiyasi q  q₀ nuqta yaqinida qatorga yoyib yozsak va belgilash kiritsak
.
q  q₀  x

(a(q )  yuqori.darajadagi.hadlar) ₂
dU x ²
d ²U

L  ⁰ x
2
 U (q₀
)  x(
dq
⁾qq₀ ^
(

2. 
   dq ²
   

⁾qq₀
- yuqori

darajali hadlar.
Potensial energiyaning nolinchi hadi doyimiy son hisoblanadi va uni hisobga
^ dU ^

olmaslik mumkin,
  minimum mavjud bo’lgan nuqtada nolga teng. Shuning
dq

 
uchun potensial energiya yoyilmasi kvadratik haddan boshlanadi. Tebranish kvadratik ampilitudaga ega bo’lgani uchun yoyilmaning yuqori darajali hadlarida x ning yuqori darajalari ishtirok etadi va ularni hisobga olmaslik mumkin. Shuning uchun kinetik energiya yoyilmasida birinchi had muhin had bo’ladi. Agar

m  a(q
)  0,
^ d ²U ^

0
belgilashlar kiritsak, Lagranj funksiyasi
k  ^

^  0

0
^qq

^ dq ²
L  ^m x ²
2

• 
  k x ²
  

2

ko’rinishga keladi. Bunday funksiya bilan ifodalanuvchi sistema garmonik ossillyator deyiladi. Lagranj tenglamasida
d dL dL

dt dx^
 m^x^,
 kx
dx

Ekanligini hisobga olib, harakat tenglamasining
m^x^  k x  0
Ko’rinishda bo’lishligini topamiz. Agar

(1)

_a 

Belgilash kiritsak.tenglama quydagicha bo’ladi:
^x^  _a x  0

(2)

Bu yerda _a
ossillyatorning xususiy chastotasi deyiladi. Ko’ramizki, garmonik

ossillyator ikkinchi tartibli chiziqli tenglama bilan ifodalanar ekan.
Odatda chiziqli differensial tenglamalar yechimi oson topilgani tufayli, fizikada uchraydigan ko’pgina problemalar tenglamalarini chiziqli teglama ko’rinishga keltirishga harakat qilinadi.
(2) tenglamaning yechimi bo’lib, sin^a t va cos^a t hisoblanishi mumkin yoki umumiy ko’rinishda

hisoblanadi. Agar

x  c₁ cos_at  c₂ sin _at
(3)

c₁  a cos , c₂
desak, (3) quydagicha yoziladi:
 a sin 
(4)

(4) dan a va  larning

c₁ , c₂
x  a cos(_at   )
lar bilan bog’lanishini topamiz:
(5)

1

2
a  c ²  c
² , tg
  ^c2
c₁

(6)

Shunday qilib, sistema turg’un muvozanat holati yaqinida garmonik tebranma harakat qilar yekan.(4) dagi a-tebranishning fazasi deyiladi, ^ -fazaning boshlang’ich vaqt momentidagi qiymati.
Garmonik ossillyator harakat tenglamasining umumiy yechimi odatda, eksponensial funksiya tariqasida axtariladi:

_{x  ae}it

• 
  _beit
  

(7)

Bu yerda a va b - integrallash doimiyliklari. (28) ning kompleks qo’shmasi

_x _{ a}_eit

• 
  _b_eit
  

(8)

ko’rinishda yoziladi. Yechimning haqiqiy bo’lishligi uchun

_a_eit
x 
_{ ae}it
(9)

Demak, umumiy holda yechim kompleks amplituda bo’ladi. Uning moduli bizga odatdagi haqiqiy ampilitudani, argumenti esa tebranish fazasini beradi.
Tebranish energiyasini ampilituda orqali ifadalaymiz. Buning uchun (30) ni vaqt bo’yicha differensiallaymiz:

x^  ^i (a^e^it
Tebranishning to’liq energiyasi

• 
  _aeit ₎
  

m

2
(10)

E 
mx^{ 2}
2
 U (x) 
mx^{ 2}
2

• 
  ^k x ²
  

2
 ₂ (x^
  ² x ² )

ifodasiga (30) ni qo’yamiz. Dastlab,
x^{ 2}va ² x ²
larni topamiz:

x^{ 2}
_   ²
2
(a^a^e

2it

• 
  2a
  

^a  aae
2it ₎

U holda
_ 2 _x 2
 _ 2
2
(a^a^e
2it

• 
  2a
  

^a  aae
2it ₎

x^{ 2}   ² x ²
E  ma^a
 2a^a

(11)

Demak, tebranish energiyasi vaqtga bog’liq bo’lmas ekan.
Ayrim hollarda ^x va ^x lar o’rniga amplituda bilan bevosita bog’liq bo’lgan
A^* t , A(t) davriy o’zgaruvchilar kiritish qukay bo’ladi, masalan,

x(t) 
A^ (t)  A(t)
, x^(t)  ^i 

A
2
^ (t)  A(t)

(12)

bulardan
A^* t , A(t)
larni topish mumkin:
.

_{A (t) } x^t  ixt  _ x  i x
i

A(t) 
x^t  ixt  _ x  i x

• 
  
  .
  i
  

endi yangi o’zgaruvchilar yordamida harakat tenglamasini ifodalaymiz. (12) ning ikkinchisini vaqat bo’yicha differensiallaymiz:
^x^  ^i A^{ *}  A^ 
Shuning uchun (2) tenglamani yoza olamiz:

^x^  
x  ( A
2
 A) 
( A  A) 

Lekin
 ^i ( A^{ }  iA^ ) 
( A^  iA)

(13)


bo’lgani uchun (12) dan
^d x  x dt

yoki
A^{ }  A^  i( A^  A)

( A^{ }  iA^ )  ( A^  iA)  0

ekanligini hisobga olsak, (13) ning o’ng tomonidagi har bir had alohida –alohida nolga teng bo’ladi.

i 2 ( A^{ }  iA^{ } )  0
 i 2 A^{ }  2A 0

(14)

(14) ning biri ikkinchisining kompleks qo’shmasi bo’lgani uchun ulardan biri harakat tenglamasining (2) ko’rinishdan (14) ko’rinishga o’tkazishning sababi shundaki, (14) birinchi tartibli differensial tenglamasidir. Bu tenglamaning yechimi

A^ (t)  a^e^it , A(t)  ae^itt
(15)

Ko’rinishga ega bo’ladi. Bu yechimlarni (33) ga qo’ysak, (10) ko’rinishdagi yechimga kelamiz.

Agar (15) dan
A^ A ko’paytmani topsak,
A^ A  a^a

bo’ladi va tebranish energiyasi (11) quydagicha yoziladi:
E  m A^ (t) A(t)
Har qanday real tebranishda kvazielastik kuch ta’sirida harakat qilib turgan sistemalarda ishqalanish kuchi mavjud bo’ladi va shu kuch ta’siri tufayli tebranish so’nuvchan bo’ladi.
Faraz qilaylikki, ishqalanish kuchi nuqta tezligiga proporsianal va teskari yo’nalgan bo’lsin:

^Fish
 x^

U holda zarraga ta’sir etuvchi umumiy kuch kvazielastik va ishqalanish kuchlari yig’indisidan iborat bo’ladi:

Zarraning harakat tenglamasi

^{F  F}el ^{ F}ish
 (kx  x^)

ko’rinishda yoziladi. Yechimni kabi axtaramiz.

m^x^  x^  kx  0
x  ae^t
(*)

bo’lganida (*) dan topamiz

x^  x, ^x^  ² x
m²    k  0

Bu tenglamaning ildizlari quydagicha bo’ladi:

   ^ 
¹ 2m
;₂
  ^ 
2m

Demak (*) tenglamaning yechimi :


• 
  t
  

x  e ^2m
(ae


• 
  be )
  

(**)

Bu yerda uch holning mavjud bo’lishini ko’ramiz.

1. 
     4m² bo’lsin. (**) yechimning birinchi hadini qaraymiz:
   



^ 














^t  

 
_{1 } 

Bu yerda

^ 2m
 _2m  


 1

Bo’lgani uchun (**) yechim vaqt o’tishi bilan kuchli so’nuvchi harakatni ifodalaydi. Harakat bu holda davriy bo’lmaydi,

2. 
    ²  4m² bo’lsin. U holda (**) yechim quydagicha yoziladi:
   


^ 
_  ^ _{ }


• 
  t ⁱ
  

x  e ^2m ae
i

• 
  be
  

^  ce ^2m cos^
  ^




_{ }  
 
Berilgan holda ampilitudasi eksponensial qonun bilan susayib boruvchi garmonik tebranishga ega bo’lamiz. Tebranish chastotasi


  

ya’ni erkin tebranish chastotasidan kichik bo’ladi. Tebranish davri

_{T } 2

bo’lganidan, tebranish ampilitudasini ifodalovchi eksponensial funksiya

darajasidagi nisbat ^{T  t}

bo’ladi va

bo’lganda

2m
t  ^ T
2m
_ 2
2m

_ 2
_e 2m

ning natural logarifimi