Kulon maydonida trayektoriya tenglamasi. Kepler qonunlari

Trayektoriya tenglamasiga U (r)   ^
r
ifodani qo’yib,

0. 
    u r
   

almashtirish

o’tkazib integrallaymiz:

2
^{M 0} dr
^{M 0} dr

  _ ^r
_{ r} 2
  _ 


^ m ^

• 
  d ^ M ₀u  _M ^
  
• 
  dy
  

_{ }  0  _
 arccos y  ₀
(5)

bu yerda
M u  ^m
0 _M

_{y } 0


y  cos  ₀ 




m

M

0

2


U  y 
^M 0 0
M ² / m ^

_{ } 1  e cos  ₀ 

(6)

0
M ² / m p
Biz yechimni (6) bu ko’rinishda yozishimizdan maqsad shuki, u qutb koordinata boshi fokusida joylashgan konus kesimi tenglamasi hisoblanadi. Bu yerda

egrilik parametri, o’lchamsiz kattalik
_M 2
_{p } 0
m
(7)

e 
esa uningekssentrisiteti deyiladi.
(8)

Endi mumkin bo’lgan turli xil xususiy hollarda qarab chikaylik.
Tortishuvga oid (  0 ) finitli harakat E  0 holini ko’raylik. Zarra energiyasi

_ m ²

0
2M ²
 E  0

intervalda joylashgan bo’ladi. Shuning uchun (8) dan
0  e  1
qiymatlarni qabul

qiladi va trayektoriya ellips hisoblanadi. (6) ifodadan r ni topamiz qabul qilamiz:
₀  0
deb

r  ^p
1  e cos

Agar   0
bo’lsa,
r  r_max  p /(1  e) -perigeliy,
  

bo’lsa,

r  r_max  p /(1  e) -afeliy.

Ellipsning kichik va kata yarim o’qlari
r_min  r_max  2a

^rmax

• 
  r_min  2
  

tengliklardan topiladi va quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

a  ^p , b  ^p
1  e²
(9)

(7), (8) ifodalardan foydalansak,

a  ^ ,

0. 
   E
   

b   ^{M 0}
(10)

Bundan ko’ramizki, ellipsning katta yarim o’qi faqat energiyaga bog’liq impuls
momentiga bog’lik bo’lmaydi. Energiyaning minimal qiymatida esa e  0 va
a  b , demak , impuls momentining berilgan qiymatda ellips aylanaga o’tadi, aylana radiusi mumkin bo’lgan eng kata qiymatga ega bo’ladi.
Saqlanuvchan impuls momenti

0
M  mr ²^
Trayektoriyaning bir-biriga cheksiz yaqin nuqtalari o’rtasida radius-vektorning hosil qilgan sektor yuzasi
ds  ¹ r  r  d  ¹ r ²  d
2 2

orqali aniqlanadi. Agar bog’lasak
M ₀ ni dS bilan

M  2m ^dS
0 dt
 const
(11)

tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerda ^dS
dt
sektoria tezlik deyiladi va u saqlanuvchan bo’ladi bir xil vaqt oralig’ida radius- vektorning chizgan yuzasi bir xil bo’ladi. (Keplerning ikkinchi qonuni hisoblanadi).

Ellips yuzasi

11. 
    dan
    

T
dS  ^{M 0} dt
2m

Bo’lganidan

_ dS  ab,
_ dt  T
0
(davr)

Yoki
T  2 m ^ab
M ₀
 

T ²   ² ²
m
2 E ³
_ 4 ²m ₃

a

(12)

Demak, zarraning ellips bo’ylab aylanish davri to’liq energiyasiga bog’liq bo’lib, impuls momentiga bog’liq bo’lmaydi hamda davrlar va kata yarim o’qlar o’rtasida

11. 
    dan
    

_T 2 _a3
1 _ 1

a

T
2 3
2 2
Munosabatga ega bo’lamiz. (Keplerning uchinchi qonuni).

Agar
E  0
bo’lsa, harakat infinitli bo’ladi,
E  0
da ekssentrisitet
e  1,

ya’ni trayektoriya kuch markazidan o’tuvchi giperboladan iborat bo’ladi, E  0 da

esa
e  1 -paraboladan iborat bo’ladi.
Endi zarra koordinatasining vaqtga bog’lanishining parametrik ko’rinishini

topamiz. Buning uchun t va r o’rtasida bog’lanishdan foydalanamiz:
_{t  } dr

11. 
    (13)
    

Elliptik orbitalar holini qaraymiz. (13)ni a va e kattaliklar orqali ifodalaymiz:

Agar
_{t } m r dr _


2 E


ma r dr




11. 
    

r  a  ae cos 
almashtirish o’tkazsak, (14) qo’yidagi ko’rinishda yoziladi:

 _      
 
  

11. 
    (15)
    

t 1 e cos d
e sin
const

Vaqt koordinatasi boshlanishini tanlab olish yo’li bilan const ni nolga aylantirish
mumkin. Natijada rt  bog’lanishning parametrik ko’rinishini topamiz.

r  a1 


e cos
 , t 
 
e sin  

11. 
    

Nazorat savollari

1. 
   Bog’lanishlar xususida haqida ayting.
   
2. 
   Konservativ va nokonservativ sistemalar haqida tushuncha bering.
   
3. 
   Mexanik o’xshashlik usuli deganda nimani tushunasiz
   
4. 
   Kulon maydoni qanday maydon
   
5. 
   Kulon maydonida trayektoriya tenglamasini yozing.
   
6. 
   Kepler qonunlari haqida ayting
   

^Eich
^{ E}1ich
_p 2
 ⁰  E
2m₁
2ich
_p 2
_ 0
2m₂

Bu yerda
m₁ , m₂
hosil bo’lgan zarralarning massalari
^E1ich
^{va E}2ich

ularning ichki energiyalari va
^E_ich - dastlabki ya’ni parchalanuvchi zarraning ichki

energiyasi va p₀ hosil bo’lgan zarralarning impul’slari. Zarra parchalanishi uchun parchalanuvchi va parchalanish oqibatida hosil bo’luvchi zarralar ichki energiyalarining ayirmasi musbat bo’lishi lozim. Odatda bu energiya farqini parchalanish energiyasi  deb yuritiladi va u quyidagicha belgilanadi

  E_ich

• 
  ^E1ich
  
• 
  ^E2ich
  

(1)

Demak, yuqoridagi munosabatga ko’ra quyidagi ifodaga yega bo’lamiz:

p

2
  ⁰ ( ¹
2 m₁
 ¹ )  ⁰

p

2
m₂ 2m
(2)

Bu yerda ^m -hosil bo’lgan zarralarning keltirilgan massasi; zarralarning tezligi esa ularning impul’si orqali aniqlanadi:

^v10
 p₀ / m₁ ,
^v20
 p₀ / m₂

endi dastlabki zarracha parchalangunga qadar ^v tezlik bilan harakatlanuvchi sanoq tizimiga o’tamiz. Odatda bu sanoq tizimini laboratoriya sanoq tizimi (yoki L tizim) deb yuritiladi. Zarralarning to’liq impul’slari nolga teng bo’lgan tizim esa inersiya markazi tizimi (yoki M tizim) deb yuritiladi.

^v ₀ bo’lsa, u holda
v  V  v₀
bo’lganligi uchun quyidagi natijaga ega bo’lamiz:

0
v²  V ²  2vV cos  v² , (3)
bu yerda  - zarrachaning V tezlik yo’nalishiga nisbatan uchib chiqish burchagi. Bu tenglama parchalanish natijasida hosil bo’lgan zarrachaning L tizimdagi tezligini aniqlaydi. Bu munosabatni 12-rasmda ko’rasatilgan diagramma yordamida tasvirlash mumkin.

1- rasm
Bunda ^v tezlik aylana markazidan V masofada yotuvchi A nuqtadan radiusli aylananing biror-bir nuqtasiga o’tkazilgan vektor orqali aniqlanadi.


v₀
V  v₀

va V .  v₀ bo’lgan hollarga rasmdagi A va B diagrammalar mos keladi (12 rasm).
Birinchi holda zarracha ixtiyoriy burchak ostida uchib chiqishi mumkin. Ikkinchi holda esa zarracha quyidagi tenglik bilan aniqlanuvchi burchakdan katta bo’lmagan burchak ostida faqat oldinga uchib chiqishi mumkin:

sin
max
_ v₀ V
(4)

Demak, bu holda zarrachaning uchib chiqish burchagi 90⁰ dan kichik bo’ladi.

12. 
    va M tizimlardagi uchib chiqish burchaklari  va  ₀
    

bog’lanishni ham shu diagrammalar asosida topish mumkin.
orasidagi

tg  ^СD 
AD
v₀ sin₀
v₀ cos₀  V
(5)

Agar bu tenglamani
cos ₀
ga nisbatan yechsak, oddiy almashtirishlardan keyin

quyidagi ifodani hosil qilamiz:
V ₂

v
cos₀   sin
0
  cos
(6)

1-rasmdagi A diagrammadan ko’rinib turibdiki
v₀  V
bo’lsa  ₀
va  burchaklar

orasidagi bog’lanish bir qiymatlidir. Bunda ushbu formuladagi ildiz oldida musbat

ishora olinadi (chunki   0
bo’lganda  ₀  0
bo’lishi lozim. Agar
v₀  V
bo’lsa  ₀

va  burchaklar orasidagi bog’lanish bir qiymatli emas: ya’ni  ning har bir

qiymatiga aylana markazidan B va C nuqtalarga o’tkazilgan ikkita  ₀
burchak

mos keladi. Ularga (6) ifodadagi ildiz oldidagi musbat va manfiy ishoralar mos keladi.

xaotik taqsimotga yega ekanligi bilan bog’liqdir. Bu shuni anglatadiki
d ₀
fazoviy

burchak elementi ichida uchuvchi zarralarning ulushi unga proporsionaldir, ya’ni

d₀ / 4
ifoda bilan aniqlanadi.
d ₀  2 sin₀d₀
ekanligini inobatga olib,

zarralarning  ₀
burchaklar bo’yicha taqsimlanishini tavsiflovchi quyidagi ifodani

hosil qilamiz:

1. 
   sin d
   

(7)

₂ 0 0

11. 
    tizimdagi burchaklar bo’yicha taqsimot esa ushbu ifodani mos almashtirishlar yordamida hosil qilinadi. Masalan, L tizimda zarralarning kinetik energiyalar bo’yicha taqsimotini topaylik. Buning uchun
    

v²  v²  V ²  2vV cos
0 0
Tenglikni kvadratga ko’tarib quyidagi natijani hosil qilamiz:

d cos
Endi zarraning kinetik energiyasi
_ d (v² ) _.

0
⁰ 2v V
T  mv ² / 2
ekanligini inobatga olib, (7)

formuladan biz izlayotgan taqsimotni hosil qilamiz
dT

2mv₀V

Ko’rinib turibdiki, zarralarning kinetik energiyalari

(8)

^Tmin
 ^m (v
₂ 0
V ) ²
dan
^Tmax
 ^m (v
₂ 0
 V ) ²
gacha bo’lgan qiymatlarni qabul qila oladi.

Bu oraliqdagi energiya qiymatlarini qabul qiluvchi zarrachalar (8) ifodaga ko’ra bir jinsli taqsimlanishgandir.
Agar parchalanish oqibatida ikkitadan ortiq zarra hosil bo’lsa, energiya va impul’sning saqlanish qonuni hosil bo’luvchi zarralarning tezliklari va uchib chiqish yo’nalishlarini aniklashda ko’p ixtiyoriylikka yo’l qo’yadi. Jumladan M tizimda uchib chiquvchi zarralar energiyalari aniq bir qiymatga ega bo’lmaydi. Ammo har bir hosil bo’luvchi zarracha olishi mumkin bo’lgan kinetik energiyaning yuqori chegarasi mavjud bo’ladi.
Bu chegaraviy qiymatni aniqlash uchun parchalanish oqibatida hosil bo’lgan zarralardan birini masalan, m₁ massali zarrani tanlab olamiz qolgan zarralarni esa yagona (bitta) tizim sifatida qaraymiz va uning ichki energiyasini

^Ei^ch
bilan belgilaymiz. U holda birinchi va ikkinchi formulalarga ko’ra ^m₁

massali zarrachaning kinetik energiyasi quyidagicha topiladi

bu yerda M - dastlabki zarraning massasi. Ko’rinib turibdiki kinetik energiya
^Ei^ch

minimal qiymat qabul qilganda eng katta qiymatga yega bo’ladi. Buning uchun m₁ massali zarrachadan tashqari barcha zarrachalar bir xil tezlik bilan

harakatlanishlari lozim. Bu holda
^Ei^ch
zarralar ichki energiyalarining yig’indisiga

teng bo’ladi. Demak, bu holda
^Eich ^{ E}1ich ^{ E}i^ch ^{ }
ya’ni parchalanish energiyasiga

teng. Shunday qilib, zarra qabul qilishi mumkin bo’lgan kinetik energiyaning eng katta qiymati quyidagicha aniqlanadi

^(T10
⁾max
_ M  m_{1 }
M

(9)