Radius-vektorning koordinata boshining tanlab olinishiga bog’liqligi

M

i

i

i

i

i

i

M



ⁱ 

M

aP
^→  _r^→ p^→   _r^→ a^→p^→   _r^→p^→  _a^→p^→  
^{→ }  ^a^→_ p^{→ }  ^{→ }  ^{→ →} (6)

i i i i
 i  _→

Bo’ladi. (6) dan ko’rinadiki, agar sistema yaxlit tinch holatda bo’lsa, ya’ni P  0
bo’lsa, uning momenti koordinata boshining tanlab olinishiga bog’liq bo’lmaydi. Agar bir-biriga nisbatan v^→ tezlik bilan harakatlanayotgan S va S ^ inersial
sistemalarda impuls momentlarini qarasak, tezliklar

i

i

V

v
^→  v^→  ^→
almashtirishlari bilan bog’langani uchun

^→  _ m r^→ v^→   _ m r^→ v^→ _
^{→ →}
^{→ } 
_→ →_
(7)

^M i i i
i


i i i
i
m_i r_iV
i
M m RV

Bu yerda
m  _ m_i

R
i
sistemadagi barcha zarralar massalar yig’indisi,
^→ esa

_ m r^→


_{R  i} i i
_i ^mi

→
Sistema inersiya markazi deyiladi. (7) bir inersial sistemadan ikkinchi bir inersial sistemaga impuls momentini almashtiruvchi formula hisoblanadi. Agar mexanik

S ^ sistemaga nisbatan yaxlit tinch tursa, S ga nisbatan esa qilayotsa, u holda
V tezlik bilan harakat

M

M

RP
^→  ^{→ }  ^{→ →}
(8)

Ko’rinishda yoziladi. Boshqacha qilib aytganda, sistema impuls momenti
^→ S ^

M
sistemadagi «xususiy impuls momenti» va zarralar sistemasining S ga nisbatan

RP
yaxlit harakati bilan bog’liq bo’lgan ^{→ →} impuls momenti yig’indisidan iborat
bo’ladi.


Nazorat savollari

1. 
   Energiyaning saqlanish qonuni keltirib chiqaring
   
2. 
   Impul’sning saqlanish qonuni keltirib chiqaring
   
3. 
   Lagranj funksiyasi va impuls momentining qutb koordinatalar sistemasida ko’rinishi yozing.
   
4. 
   Fazoning izotropik xossasi ko’rsating
   
5. 
   Impuls momentining saqlanishi keltirib chiqaring
   
6. 
   Radius-vektorning koordinata boshining tanlab olinishiga bog’liqligini ko’rasting.
   

q
^{ } 
dt _ q^i _{ i}
(1)

q^i
 ^d q
dt ⁱ
(2)

Ushbu (1) ko’rinishdagi Eyler-Lagranj tenglamasi ixtiyoriy koordinatalar sistemasida ifodalanuvchi barcha hollar uchun o’rinli. Masalani soddalashtirish maqsadida dastlab, faqat bir o’lchovli harakatlanuvchi moddiy nuqtaning harakat tenglamasini keltirib chiqaramiz. Bir o’lchovli sistema uchun (1) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:
d _ L _{ } L

 




dt x^ x
(3)

Bu holda Lagranj funksiyasi
^{L  L(x, x)} ko’rinishda.

Buni N’yutonning ikkinchi qonuni bilan taqqoslasak,

^d (mv dt ^x
)  F_x ;
d
dt ^px
 F_x
(4)

(3) va (4) tenglamani taqqoslash shuni ko’rsatadiki ular ayni bir moddiy nuqtaning harakat tenglamasini xarakterlashi uchun quyidagi shartlarni bajarishi kerak.

^L  p ,
L _{ F}
(5)

x^{ x}
p_x  mv_x  mx^,
x ^x
F   ^U
x x

(6)

^L  mx^, L ( x^)  ^m x^{ 2}

x^{ 1} 2
L _{ } U
(7)

x x ^,
L₂ ( x)  U (x)

(7) ni e’tiborga olsak

L(x, x^)  L₁ (x^)  L₂ (x)
_ mx^{ 2} _

(8)

(9)

L U (x)
2
Bu munosabat bir o’lchovli harakat holi uchun moddiy nuqtaning klassik Lagranj funksiyasi. Demak, ixtiyoriy uch o’lchovli harakatga qatnashuvchi moddiy nuqtaning Lagranj funksiyasini uning kinetik va potensial energiyalarining ayirmasi sifatida ifodalash mumkin.

L  T  U
Bu yerda T - kinetik energiya; U -potensial energiya.
(10)

Lagranj funksiyasini Dekart koordinatalar sistemasi uchun quyidagicha ifodalash mumkin

2
L  ^m (x^{ 2}  y^{ 2}  z^{ 2} ) U (x, y, z)
(11)

Topilgan natijalardan foydalanib Eyler-Lagranj tenglamasini quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin

^d (mx^)  F
(12)
m^x^  F (x, x^, t)
(13)

dt ^x
(13) nuqtaning bir o’lchovli xarakat tenglamasi. Demak bir o’lchovli harakat tenglamasini integrallash uchun ya’ni uning ixtiyoriy vaqt momentidagi koordinatasini aniqlash uchun (13) harakat tenglamasini yechish lozim.
Xususiy hollarni ko’rib chiqamiz.

1. 
   ^{mx  0} bu holda jism tezlanishi nolga teng bo’lib ^{x  0} , jism tezligi
   

o’zgarmaydi
^{x  const} .
xt   x₀  v_{0 x}t

2. 
   ^{mx  F  const} . Bu holda jismning tezlanishi vaqt o’tishi bilan o’zgarmaydi.
   

Boshqacha aytganda jism tekis o’zgaruvchan harakat qiladi.
^{a t 2} F ₂
x(t)  x₀  v_{0 x}t  ^x  x₀  v_{0 x}t  t
2 2m
Bir o’lchovli harakat tenglamasini umumiy holda integrallash imkoni yo’q. Chunki
moddiy nuqtaga ta’sir qiluvchi kuch uning koordinatasiga, tezligiga va vaqtdan bog’liq. Bu fikrni tushuntirish uchun quyidagi misollarni ko’rib chiqamiz.

0
_1. F x  kx k  0

m^x^  kx,
m^x^  kx  0

0
^x^   ² x  0
k / m   ²
-xususiy tebranishlar chastotasi.
(A)

bu tenglama garmonik tebranishlarni tavsiflaydi.
2. ^{F ( x, x)  kx  rx k , r  0}
bu munosabatdagi ikkinchi had qarshilik kuchi hisoblanib, moddiy nuqta bilan u harakatlanayotgan muhit orasidagi qarshilikni inobatga oladi. Qarshilik kuchi

m^x^  kx  rx^  0
(B)

bu tenglama so’nuvchi tebranishlarni ifodalaydi, ya’ni vaqt o’tishi bilan so’nuvchi erkin tebranishlarni tavsiflaydi.
_3. F (x, x^, t)  kx  rx^  F₀ cos  t
Bu munosabatda tenglikning o’ng tomonidagi uchinchi had davriy ravishda ta’sir

etuvchi majburiy kuch ifodasidir. Bu yerda dastlabki ikki had
k  0,
r  0
bo’lsa

jism bu kuch ta’sirida quyidagi qonunniyat bo’yicha o’zgaruvchi tezlanishga yega bo’ladi:

m
^x^  ^F0 cos t

Shunday qilib, oxirgi holda tenglama quyidagi ko’rinishga yega bo’ladi
m^x^  kx  rx^  F₀ cost

(C)

Yuqorida ko’rib o’tilgan uchala holda bir o’lchovli harakat tenglamalarini aniq yechish mumkin.

Download 1,07 Mb.