Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

Бунда вақт барча саноқ системаларида бир хилда бўлади. Галилей принципига кўра вақт мутлақо яъни вақтнинг давомийлиги саноқ системанинг қандай доимий тезлик билан ҳаракатланишига боғлиқ эмас, яъни бутун коинот учун ягона вақт мавжуд бўлади.

t  t^
(5.2)

К система учун ҳаракат тенгламаси:

v^  ^dr

dt

dt^  dt
v  v^  V
v^ 
v  V

(6)

(6.1)

5-расм
Тезликларнинг қўшишнинг классик қонуни (6.1) дан келиб чиқадиган

натижалар вақтни мутлақолигидир
^{a  a} . Демак заррачанинг массаси K ^

системада ҳам m га тенг деб фараз қилсак K ^ учун Нютоннинг иккинчи қонуни

F  m' a^→'
(7)

Нютоннинг (2) қонуни (5.1) ва (5.2) алмаштиришларга нисбатан инвариант ёки ҳаракат тенгламалари барча инерциал саноқ системаларида бир хил кўринишда бўлади.
L  L(q, q^) L^  (q, q^)

q^ 
f q, q^
^{q  q, q} .

Биз шундай алмаштириш топишимиз керакки ҳаракат тенгламалари иккала системада ҳам бир хил бўлсин.


dL^  dL^q^, q  ^d

dt

L^ _
q^
L^
q²

dL^q^, q^  ^L dq^  ^L dq^
q q^
dq^  df q, q^  ^df dq  ^f dq^

dq q


L^ _ L^ _ dq^ _ L^ _{ e } L^ _ d ^f



dq  ^f dq^  ^L 



q^ q^ dq^ q q dq^{ }q
q _
q^


^А) _ L^ _ ^f
q^ _ t
_ q^{ } L^


q^{ }q
q^ q^
q^ q^




_Б) L^ _ L^ _ L^{ }f



q _ f


q^{ }_;

q^{ } q^ q^{ }q
q^ q^
q^


A ва B натижаларни Эйлер - лагранж тенгламасига қўйиб ^f ва ^ функцияларни аниқлаш мумкин, яъни K ва K ^ системалар координаталари ва вақтни алмаштириш қонунларидан келтириб чиқариш мумкин. Энг муҳими бу алмаштириш муносабатлари Галилей алмаштиришларига ўхшаш чизиқли кўринишда бўлади. Содда ҳолда бир ўлчовли ҳаракатни қарасак

x^ 
x  t
t ^  x  t
(8.1)

  1
  
бўлса, у ҳолда
  0
  1
(8.2)

11. 
    системага нисбатан механик системанинг ихтиёрий ^m_i
    

радиус-вектори ва тезлиги қуйидагича бўлади.
r^→  r^→  r^{→ '}
нуқтасининг

i c

i

v

c
→ _{ v}→
i

i
 v^→ '

p  _m v  _m v '  _m v
 p^'  _m v^→
(1)

i i i c i c i i i
i i c
i

_m  m, p^'  _m v^→
(2)

i i i c
i i
Механик система инерция маркази тушунчасини киритиб (2) муносабатни соддлаштириш мумкин. Массаси системанинг тўлиқ массасига тенг ҳолати

L  ^{i 1} 
2
^{i 2} U (| r₁  r₂ |)
2
(4)

Классик механиканинг фазо ва вақт ҳақидаги тасаввурларига кўра фазо икки нуқтасининг берилган вақт моментларидаги ҳолатлари орасидаги масофа барча саноқ системаларида бир хил

1 1

r

2

2



r
m r^→  m ^→  0
(6)

1

2
Бу ифодаларни (4) қўямиз
r^→ 
m_{2 r}→ m₁  m₂
→ m_{1 r}→ m₁  m₂
(7)

L
_  r^2 _
2


U (r)

(8)

_{ } m₁m₂
m₁  m₂

(9) – келтирилган масса.

8. 
   функция шаклан қўзғалмас координаталар бошига нисбатан симметрик
   

бўлган ташқи
U r 
майдонда ҳаракатланувчи m массали моддий нуқтанинг

Лагранж функциясига мос келади. Шундай қилиб, ўзаро таъсирлашувчи икки моддий нуқта ҳаракати ҳақидаги масала бир нуқтанинг берилган ташқи

U r 
майдондаги ҳаракат масаласига келтирилди. Бу масала ечимига кўра

m₁ , m₂
зарраларнинг ҳар бирини
r₁  r₁ t ,
r₂  r₂ t 
траекториялари (7)

формула орқали топилади.

dL _{ } L _q
_ ^L q^

(1)

dt q_i q^i

L
q_i
hosilalarni Lagranj tenglamalariga ko’ra ^d
dt
dL
q_i
ga almashtirilsa

_ 
dL _{ q} d
dt ⁱ dt
L
q^
_ L


q^
d ^ L

_ 
^{qi } dt q^

q^{i }

yoki
ⁱ i ⁱ i

d ^ L
ⁱ  i 



dt ^{ qi} q^
 L ^  0

 ⁱ i 
Bundan ko’rinib turibdiki

E  _ q^
L _{ L}
ⁱ q^

ⁱ i
Bu kattalik yopiq sistema harakati davomida o’zgarmaydi, ya’ni u harakat integrallaridan biridir. Bu kattalik sistemaning energiyasi deyiladi.
Energiyaning saqlanish qonuni faqat yopiq sistemalar uchungina yemas, balki o’zgarmas (ya’ni vaqtga bog’liq bo’lmagan) tashqi maydondagi sistemalar uchun ham o’rinli. Energiyalari saqlanadigan mexanikaviy sistemalarni ba’zida konservativ sistemalar deyiladi.
L  T (q, q^)  U (q)
T-tezliklarning kvadratik funksiyasi. Bunga bir jinsli funksiyalar haqidagi tanish bo’lgan Eyler teoremasini qo’llab

_ q^
L
ⁱ q^
 _ q^
T  2T
ⁱ q^

ⁱ i ⁱ i
Bu qiymatni (1) ga etib qo’yamiz.

dekart koordinata esa

E  T (q, q^)  U (q)

E  _ ^{a a}  U (r , r )

(2)

_a ²
Shunday qilib, sistemaga energiyasi ikkita butunlay har xil had tezliklarga bog’liq bo’lgan kinetik energiya va faqat zarralarning koordinatalariga qarab o’zgaradigan potensial energiya yig’indisi ko’rinishda berilishi mumkin.
Erkinlik darajasi ^s bo’lgan yopiq mexanikaviy sistema uchun 2s  1 ta
mustaqil harakat integrallari bor. Quyidagi oddiy mulohazalar buni yaqqol

ko’rasatadi. Harakat tenglamalarning umumiy yechimida ^2s
o’zgarmas kattalik bo’ladi.
ta ixtiyoriy

Yopiq sistema harakat tenglamalari vaqtga oshkor bog’liq bo’lmaganidan vaqt hisobining boshlanish mometini tanlash butunlay ixtiyoriydir. Shunga ko’ra tenglamalar yechimidagi ixtiyoriy o’zgarmaslardan birini har doim vaqt bo’yicha

additiv o’zgarmas ^t₀
ko’rinishida tanlash mumkin.
q_i  q_i t  t₀ , C₀ , C₂ ,. C_{2S 1} 
q^i  q^i t  t₀ , C₀ , C₂ ,. C_{2S 1} 

Download 1.07 Mb.