Nazorat savollari
Ixtiyoriy koordinatalar sistemasida jismlarning harakatini tahlil qiling
Umumlashgan koordinatalar nima ?
Eng kichik ta’sir prinsipini tushuntirib bering?
Lagranj funksiyasi haqida aytiung?
Eyler-Lagranj tenglamasini keltirb chiqaring.
Lagranj funksiyasining ayrim muhim xossalari ayting.
Лагранж функциясининг айрим муҳим хоссалари
Энг кичик таъсир принципига кўра ихтиёрий физикавий системанинг ҳаракат тенгламаси қуйидаги кўринишда бўлиши маълум эди
d L L
dt q q
(1)
Бу ҳаракат тенгламасини келтириб чиқаришда биз бирор-бир жойда Лагранж функциясининг ошкор кўринишидан фойдаланганимиз йўқ. Шунинг учун бу тенглама ихтиёрий система учун ўринли. Лагранж функциясининг конкрет кўринишларини топишдан олдин унинг (1) ҳаракат тенгламасига асосланган айрим хоссаларини кўриб чиқамиз.
2. Агар системанинг Лагранж функциясига бирор доимий аддитив
катталик иштирок этса тенгламаси ўзгармайди.
L L A
L' L ,
A const . Биринчи ҳаракат
L' L ;
q q
q q
Агар қаралаётган Лагранж функцияси ўзаро таъсирлашмайдиган эркин зарралар системасидан иборат бўлса, бундай системанинг Лагранж функцияси алоҳида зарралар Лагранж функцияларининг йиғиндисидан иборат бўлади.
L Li
i
(2)
2. Энг кичик таъсир принципига кўра ҳар қандай системанинг таъсир функцияси унинг Лагранж функциясидан олинган қуйидаги интеграл орқали аниқланади.
t2
S L(q, q)dt
t1
Бундан кўриниб турибдики Лагранж функцияси қуйидаги шартни қаноатлантирса
L' L f ,
t
f f (q, q)
(3)
яъни ихтиёрий умумлашган координата, умумлашган тезликдан боғлик функциянинг вақт бўйича тўлиқ дифференциалига фарқ қилса
t2 t2
t2 df
t1
S '
L' dt
t1
Ldt
dt
t1 t1
dt S
f (q, q) |t2
S' 0
t1
S f (q, q) |t2
масаланинг қўйилишига кўра системанинг
t1 ва
t 2 вақт
моментларидаги умумлашган координата ва тезликлари тайин бўлганлиги учун иккинчи ҳаднинг вариацияси нолга тенг. Биз қуйидаги муҳим натижани оламиз:
S 0 .
Агар қаралаётган системанинг Лагранж функцияси бир-биридан тўла ҳосилага фарқ қилса уларнинг ҳаракат тенгламалари бир хил кўринишга эга бўлади. Лагранж функциясининг бу хусусиятидан уни соддалаштириш мақсадида фойдаланилади.
Масалани умумий ҳолда қўямиз. Фараз қилайлик бизга зарранинг тенгламаси
маълум бўлсин.
F ma→
(4-1)
Агар бизга бирор К саноқ системаси берилган бўлиб, у К системага нисбатан доимий тезлик билан ҳаракатланаётган бўлса (5-расм), зарранинг бу системалардаги радиус бўлса, зарранинг бу системалардаги радиус
векторлари қуйидагича боғланганлигини кўриш мумкин.
| 