Sferik koordinatalar usuli

r  r(t),    (t),   (t )
(13)

tenglamalar bilan beriladi. Sferik va Dekart koordinatalar orasidagi bog’lanish quyidagi formulalar orqali ifodalanadi (rasm):
x  r sin cos , y  r sin sin , r  r cos

r   
arctg ^r' ,
r
  arctg ^y
x
(14)

Bu yerda

^r' . Sferik sistemaning
e^→ , e^→ , e^→

ortlari bilan

→_, →_, ^→

Dekart

r  

i j k

ortlari orasidagi bog’lanishlarni rasmdan foydalnib topish mumkin:

k

r

e
^→  i^→ sin cos  ^→j sin sin  ^→ cos

k



e
^→  i^→ cos cos  ^→j cos sin  ^→ sin
(15)



e

r
^→  i^→ sin  ^→j cos, r^→  re^→

2. 
   rasm
   

Sferik koordinatalar sistemsining barcha ortlari M nuqta harakatlanganda o’z yo’nalishlarini o’zgartiradi, shuning uchun ulardan vaqt bo’yicha birinchi tartibli hosilalar olamiz:





r
e^→  ^ e^→  ^ sin e^→

r


_e→_
  e^→  ^ cos e^→
(16)

_e→_
 ^ sin e^→
 ^ cos e^→

r


Sferik koordinatalar orqali ifodalangan r^→ radius-vektordan birinchi tartibli hosila




olib, (16) ni e’tiborga olsak, quyidagi munosabatlarni olamiz

r
v^→  r^→  r^e^→
v 
 r^ e^→
 r^ sin e^→
(17)

v_r  r^,
v_  r^,
v_  r^ sin

Ma’lumki, tezlik vektoridan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosila tezlanish vektorini beradi:

w^→  w e^→  w e^→  w e^→
(18)

Bu yerda

r r    

_{w } 1 d
(r ²^2 )  r^{ 2} sin cos




w_ 


r dt
1
r sin
^d (r ²^{ 2} sin ²  )
dt
(18-1)

^{wr , w} va ^w_ mos holda radial, meridional va azimutal tezlanishlar deb yuritiladi.




Nazorat savollari

1. 
   Moddiy nuqtaning Dekart koordinatalar sistemasidagi xolati, tezligi va, tezlanishi ifodasini yozing
   
2. 
   Moddiy nuqtaning silindrik koordinatalar sistemasidagi xolati, tezligi va, tezlanishi ifodasini yozing
   
3. 
   Moddiy nuqtaning qutb koordinatalar sistemasidagi xolati, tezligi va, tezlanishi ifodasini yozing
   
4. 
   Moddiy nuqtaning sferik koordinatalar sistemasidagi xolati, tezligi va, tezlanishi ifodasini yozing
   
5. 
   Maydon tushunchasi va Nyuton tenglamalarining qo’llanish chegarasi ayting.
   

→ _ dv^→ _ d ²r^→


_ 1 ^→ → dr^→

(1)

^a dt dt ²
F (r ,
m dt
, t )

(1) munosabat N’yutonning ikkinchi qonunining matematik ifodasidir. Bu yerda
F – moddiy nuqta yoki zarrachaga ta’sir etayotgan kuch bo’lib, u umumiy holda zarrachaning tezligi ^v , uning radius-vektori ^r va vaqtdan bog’liq, bo’lishi

mumkin.


^Fgr
_{ G} mM

r

2
12
→

r
12
^r12

(2)

F  qvB sin  
→ ^→ _{ q[} dr^{→ →}

Lor
q[vB]
, B]

dt

(3)

Ko’rinib turibdiki B -magnit maydon induksiyasi vaqt o’tishi bilan o’zgarsa, u holda Lorens kuchi vaqtga ham bog’liq bo’lib qoladi. Bundan tashqari, magnit maydon induksiyasi turli nuqtalarda har xil bo’lsa, ya’ni maydon bir jinsli bo’lmasa u holda Lorens kuchi ham radius-vektor, ham tezlikdan ham vaqtan bog’liq bo’ladi.
Nazariy mexanikaning asosiy tushunchalaridan biri bu moddiy nuqta. Moddiy nuqtalar sistemasi va orqali absolyut qattiq jism tushunchasi. Material nuqtaning fazodagi vaziyati uning ^r radius-vektori orqali aniqlanadi. R radius
vektor Dekart koordinatlar sistemasi bilan quyidagi munosabatda bog’langan

k
r^→  xi^→  y^→j  z ^→
(4)

Radius-vektordan vaqt bo’yicha olingan to’la hosilalar mos ravishda tezlik va tezlanish vektorlarini berishi nuqta kinematikasidan bizga ma’lum.

va h.k. Shuning uchun har qanday S ta
q₁ , q₂ ,...q_s
kattaliklar umumlashgan

koordinatalar uning hosilalari umumlashgan tezliklar deyiladi. Umumlashgant koordinatlar soni mexanik sistemaning erkinlik darajalari soniga teng bo’ladi. Umumlashgan koordinatalar tushunchasi umumiy bo’lib har qanday mexanik sistema uchun qo’llanilishi mumkin.
S  3n mexanik sistema uchun umumlashgan koordinatalar soni 3n ta

x_i , y_i , z_i 
dekart, ^_i ^,_i ^{, z}_i ^
silindrik, ^r_i ^,_i ^,_i ^
sferik umumlashgan

koordinatalarda olinishi mumkin.
q  {x, y, z}


^x^ 


f (x, y, z, x^, y^, z^,t)

q^  {x^, y^, z^}
q^  {^x^, ^y^, ^z^}
(5-1)
^y^ 
^z^ 
f (x, y, z, x^, y^, z^,t)
f (x, y, z, x^, y^, z^,t)
(5-2)

Umumiy ko’rinishdagi harakat tenglamasini quyidagi ko’rinishda ifodalash mumkin

q^ 
f (q, q^,t )
(6)

Umumlashgan koordinatalar sistemaning erkinlik darajalar soniga teng bo’lishi lozim. (6) umumiy harakat tenglamasi qanday ko’rinishga ega bo’lishi mumkin degan masalani keyingi mavzularda hal qilamiz.
Umumiy ko’rinishdagi harakat tenglamasini quyidagi ko’rinishda ifodalangan edi

q^ 
f (q, q^,t )
(1)

Ushbu umumiy harakat tenglamasi qanday ko’rinishga ega bo’lishi mumkin degan masalani hal qilamiz. Ya’ni umumlashgan kuchni aniqlashga kirishamiz. Bu masalani hal qilish uchun qaralayotgan fizikaviy sistemaning biror boshlang’ich va oxirgi holatlardagi koordinatalari va umumlashgan tezliklari ma’lum bo’lgan sistema qanday real trayektoriya bo’ylab boshlang’ich holatdan oxirgi holatga o’tadi degan masalani hal qilish lozim. Boshqacha aytganda harakat trayektoriyasi jismning harakat tenglamasi bilan chambarchas bog’liq. Masalani dastlab bir jinsli muhitda tarqalayotgan yoruglik to’lqinlari kabi qaraymiz. Geometrik optika qonunlariga asosan yorug’lik ikki nuqtani tutashtiruvchi to’g’ri chiziq bo’ylab tarqaladi. Ya’ni bo’lishi mumkin bo’lgan trayektoriyalar ichidan eng qisqasini tanlaydi. Bu nuqtai nazardan xam har doim ham o’rinli bo’lavermaydi. Masalan, kosmanavt sferik ko’rinishga yega bo’lgan planetaga borgan bo’lsin. Ayonki kosmanavt A nuqtadan B nuqtaga borishi uchun egri chiziqli trayektoriya bo’ylab harakatlanishga majbur va bu holda u eng kichik uzunlikka yega bo’lgan va sfera sirtida joylashgan egri chiziqli trayektoriya bo’ylab harakatlanishga majbur. Biz yuqorida yorug’likning bir jinsli muhitda tarqalishini ko’rdik. Endi yorug’lik bir jinsli bo’lmagan muhitda tarqalishini

L  Lq, q', t 
(2)

Biz hozirga qadar umumlashgan koordinata va umumlashgan tezliklarga bog’liq bo’lgan quyidagi kattaliklarni bilamiz.

E_k 
mv²

2

_ mq^{ 2} _

f
2

(q, q^)

E_p 
kx²
2
_ kq²
2
 f₂ (q)

E_T 
mq^{ 2}
2

• 
  kq²
  

2
 f (q, q^)

Endi maqsadimiz itiyoriy fizikaviy sistema uchun Lagranj funksiyasini aniqlashdan iborat. Buning uchun Lagranj quyidagi prinsipni taklif etdi va u quyidagicha ta’riflanadi.
Ta’rif. Har qanday sistema uning Lagranj funsiyasi orqali aniqlanuvchi quyidagi ta’sir kattaligi bilan xarakterlanadi.
t₂

S  _ L(q, q^,t)dt
t₁
(3)

Download 1.07 Mb.