Impulsning saqlanish qonuni

N’yutonning ikkinchi qonuni
p  mv
impuls (harakat miqdori) ning

o’zgarishi haqidagi teorema deb ham yuritiladi
^dP  F .
dt
Zarra impulsining vaqt bo’yicha hosilasi unga ta’sir etuvchi natijaviy kuchga teng. Agar zarracha ta’sir etuvchi natijaviy kuchga bo’lsa-yu, kuch nolga teng bo’lsa ^{F  0}.

P  P₀  const,



v  v₀  const



mv  mv₀

Bu formula harakat integralidan yana biri impuls integrali bo’lib, impulsning saqlanish qonunini ifodalaydi. Zarraga ta’sir etuvchi natijaviy kuch nolga teng bo’lsa, uning impulsi o’zgarishsiz saqlanadi, bunda zarra doimiy chiziqli tezlik bilan hisoblanadi.
Fazoning bir jinsligidan inersiya saqlanish qonuni kelib chiqdi. Parallel sistemaning barcha nuqtalari bir xil masofada siljiydi. Ya’ni nuqtalarning radius-

vektori o’zgaradi.
r_a  r_a  c
koordinatalarning cheksiz kichik o’zgaruvchan L

funksiyasini quyidagicha o’zgartiradi.

a
 L  _ ^L  r
_{  } L

 r_a  r_a

L  0
 ning ixtiyoriy qiymatida ^L  0


 r_a
Lagranj tenglamalariga ko’ra

_ d L _ d _ L _{ 0}
dt v_a dt v_a
Shunday qilib, yopiq mexanikaviy sistema harakatida

p_a  m_av_a
impuls ^L  0


r_a
formulada
L
r_{a
 } U
r_a
hosila  zarraga ta’sir etuvchi

^F_a kuchni ifodalaydi. Bu tenglik sistemaning barcha zarralariga ta’sir qiluvchi

kuchlar yig’indisi nolga tengligini bildiradi.
^{ F}a
a
 0 _.

Ikkita moddiy nuqtadan iborat sistema
F₁  F₂
^{ 0} . Ikki zarra o’rtasidagi o’zaro

ta’sir etadigan kuchlar kattalik jihatdan teng bo’lib bir-birlariga qarama-qarshi yo’nalgan. Bu xulosa ta’sir va aks ta’sirining tenglik qonuni nomi bilan ma’lum.


Lagranj funksiyasi va impuls momentining qutb koordinatalar sistemasida ko’rinishi.



M
Impuls va energiya saqlanish qonunlarida ko’rganimizdek, yopiq sistema

uchun
^→ ning M , M , M komponentalari saqlanuvchan bo’ladi. Agar sistema
x y z

tashqi biror maydonda joylashsa va berilgan maydon qaysi o’qqa nisbatan simmetrik bo’lsa, shu o’q atrofida aylanishga nisbatan sistemaning mexanik xossasi o’zgarmaydi, demak shu o’q bo’yicha impuls momentining qiymati o’zgarmas bo’ladi. Misol tariqasida, markaziy simmetriyaga ega bo’lgan maydonni qaraylik. Bu maydonda potensial energiya faqat biror kuch markazigacha bo’lgan masofaning funksiyasi bo’ladi. Harakat biror tekislikda, masalan, xy tekisligida sodir bo’lsin. Qutb koordinatalari
x  r cos, y  r sin 
kiritib tezliklar uchun qo’yidagilarni topamiz:
x^  r^ cos  r^ sin 
y^  r^ sin   r^ cos
Impuls momentining bu tekislikka tik bo’lgan komponentasi

z

z
M  r^→ p^→   mxy^  yx^  mr ²^  const
(9)

Berilgan sistema uchun Lagranj funksiyasi
L  ^m x^{ 2}  y^{ 2}  U (r)  ^m r^{ 2}  r ²^{ 2}  U (r)

(10)

2 2
Ifodasidan ham (9) tenglikni chiqarish mumkin. Impuls momentining z o’qiga proyeksiyasi Lagranj funksiyasi bilan
_{M } L
^z ^
ko’rinishda bog’langani uchun (10)dan ^ bo’yicha hosila olib

z
M  mr ²^  const

Ekanligini topamiz. Chunki Lagranj tenglamasidagi
^L xosila (10) da L


funksiyaning  burchakka oshkor bog’liq bo’lmaganidan nolga teng bo’ladi. Misol. Impuls momenti komponentalarini va uning absolyut qiymatini silindrik, sferik koordinatalarda ifodalang.

1. 
   Silindrik koordinatalarda ifodalaymiz.
   

x  r cos , y  r sin , z  z
M _x  myz^  zy^   m sin (rz^  zr^)  mrz ^ cos
M _y  mzx^  xz^  m cos(zr^  rz^)  mrz ^ sin 

z
M  mxy^  yx^  mr ² ^

x

y

z
M ²  M ²  M ²  M ²  m²r ²^{ 2} r ²  z ²  m² rz^  zr^²

2. 
   Sferik koordinatalarda ifodalaymiz.
   

x  r sin cos,
y  r sin sin ,
z  r cos

x^  r^ sin cos  r^ cos cos  r sin ^ sin  y^  r^ sin sin   r^ cos sin   r sin ^ cos z^  r^ cos  r ^ sin

x
M  mr ² (^ sin   ^ sin cos cos)

x
M  mr ² (^ cos  ^ sin cos sin )

z
M  mr ² sin ² ^

x
M  mr ² (^ sin   ^ sin cos cos) M ²  m²r ⁴ (^2  sin ²   ² )


Nazorat savollari

1. 
   Energiyaning saqlanish qonuni keltirib chiqaring
   
2. 
   Impul’sning saqlanish qonuni keltirib chiqaring
   
3. 
   Lagranj funksiyasi va impuls momentining qutb koordinatalar sistemasida ko’rinishi yozing.
   

^→
Cheksiz kichik burilish burchagi vektorini
^→ deylik. Uning absolyut qiymati 
bo’lsin, yo’nalishi esa burish o’qi yo’nalishida o’ng vint qoidasi bilan aniqlansin. Dastlab bunday burilishda koordinat boshidan o’tkazilgan radius- vektor orttirmasining nimaga tengligini topaylik. Radius-vektor uchining chiziqli

siljishi
O
 r^→

    r  sin 

Bu orttirma yo’nalishi
^→, r^→
vektorlar

tekisligiga perpendikulyar bo’ladi. Shuning
uchun

 r^→  ^→  r^→
(1)

Sistemani burganimizda faqat radius-vektorning yo’nalishi o’zgarib qolmasdan shuningdek barcha zarralar tezliklar yo’nalishi ham o’zgaradi. Bu paytda, albatta barcha vektorlar bir hil qonun asoida almashtiriladi. Demak, (1) almashtirishni
v^→ iuchun ham yozishimiz mumkin:

Lagranj funksiyasining orttirmasi

 v^→  ^→  v^→
(2)

^ L → L → ^

 L  _^ _r→  r_i  _v→  v_i ^
(3)

ⁱ  i i 

i
Shartga ko’ra, asosida
 L  0 . U holda (1), (2) larni (3) ga qo’yib, Lagranj tenglamasi

L

i
v^→
 p^→ ,
L _{ p}→_

^→r

i
i

almashtirishlarini o’tkazib topamiz:
_p^→ _i  ^→  r^→  p^→_i  ^→  v^→  0

(4)

i i
i
Bu yerda siklik almashtirish o’tkazish yo’li bilan ^→ ni qavsdan tashqari chiqarib
yoza olamiz:
^→_r^→ p^→  v^→ p^→  ^{→ d} _r^→ p^→   0

i i i i
i
dt _i

Oldin ko’rganimizdek, ^→ ixtiyoriy bo’lgani uchun

i i
^d _r^→ p^→   0
dt _i
bo’ladi. Demak, yopiq sistema harakatida

^→  _r^→ p^→   const
(5)

^M i i
i
Vektor kattalik saqlanuvchan bo’ladi. Bu kattalik sistema impuls momenti deyiladi. Impuls momentining additivligi (5) dan yaqqol ko’rinadi hamda u sistema zarralari o’rtasida o’zaro ta’sirining mavjudligiga yoki mavjud emasligiga bog’liq bo’lmaydi. Impuls momenti ifodasiga zarralar radius-vektorlari kiradi.

Download 1,07 Mb.