Nazorat savollari
Barqaror (turg’un) muvozanat holati deganda nimani tushunasiz
Erkin tebranishlar tenglamasini yozing.
Kichik tebranishlarda to’la energiya nimaga teng ?
So’nuvchi tebranishlarda kuch qanday bo’ladi ?
Davriy tebranishlarda amplitude nimaga teng ?
Majburiy tebranishni tushuntiring
Rezonans nima?
ma’ruza: KO’P ERKINLIK DARAJASIGA EGA BO’LGAN SISTEMADA TEBRANISHLAR
REJA
Bunday sistema uchun Lagranj funksiyasi.
Harakat tenglamasi va uning yechimi.
Normal koordinatalar.
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: Sistemaning erkinlik darajasi soni, sistema potensial energiyasi, sistema kinetik energiyasi, sistema Lagranj funksiyasi, Lagranj tenglamasi.
Sistemaning erkinlik darajasi soni S -ga teng bo’lsin. Bunday sistemaning erkin tebranishlari nazariyasi bir o’lchami tebranishlar nazariyasiga o’xshash
bo’ladi.
Agar sistema potensial energiyasi qi qi 0 i 1,2,..., S nuqtasida minimumga
ega bo’lsa,
qi qi 0
kichik siljish kiritib, oldin ko’rganimizdek, potensial
energiyani katorga yoyish asosida yozishimiz mumkin:
Bu yerda koeffisiyent k indekslar bo’yicha simmetrik bo’ladi:
kik
k ki
1
Shu asosda kinetik energiyani ham
T 2 mik xi xk
Ko’rinishda yozib, Lagranj funksiyasini
2
1
deb yoza olamiz.
L mik xi xk kik xi xk
(1)
Harakat tenglamasi va uning yechimi
Lagranj funksiyaning to’liq differensialini yozamiz:
1
2
dL mik xi dxk mik xk dxi kik xi dxk kik xk dxi
i k
almashtirish o’tkazsak
dL mik xk dxi kik xk dxi
Bundan
Lagranj tenglamasi esa
L
xi
mik
xk ,
L
xi
kik xk
mik xk kik xk 0
(2)
kabi yoziladi. Bu S -ta chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini olamiz. Ularning umumiy yechimi
k
k
x A ei t
tariqasida axtaramiz. U holda (2) o’rnida
k
ik
2m k A 0
ik
(3)
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini olamiz. Bu sistemaning noldan farqli yechimi
k m
2
ik ik
determinantning nolga tengligi bilan aniqlanadi:
k m
0
2
ik ik
(4)
Bu determinantni ochib chiqsak, 2 -ga nisbatan S -chi darajadagi tenglamani
olamiz. U esa 2 1,2,..., S haqiqiy ildizlarga ega bo’ladi. Shu yul bilan
aniqlangan
kattaliklar sistemasining xususiy chastotalari deyiladi. Topilgan
ildizlarni (3) tenglamaga qo’yib, har bir
-ga mos keluvchi A
koeffisiyentlarni
topamiz. Agar barcha ildizlar bir-biridan farq qiluvchi bo’lsa, A
ildizlar (4)
aniqlovchining minorlariga proporsional bo’ladi va bu minorda almashtirilgan bo’ladi.
U holda yechim
,
ildizlarga
k
k
x C ei t
bu yerda
C -ixtiyoriy koeffisiyent,
k - (5) ning minori. Umumiy yechim
k
k
x Re S C
ei t
k
(5)
1
bu yerda
ReC ei t
Shunday qilib, sistema koordinatalari har birining vaqt bo’yicha o’zgarishi ixtiyoriy amplitudali va fazali, aniq chastotaga ega bo’lgan S -ta oddiy davriy tebranishlar
1, 2 ,..., S lar to’plamidan iborat bo’ladi.
Normal koordinatalar
Umumlashgan koordinatalarni shunday qilib tanlab olish mumkinki, ularning har biri oddiy bita tebranishni ifodalasin. Haqiqatan, (5) tenglamalar
sistemasini yechib,
1 , 2 ,..., S
kattaliklarni
x1 , x2 ,..., xS
koordinatalar orqali
ifodalash mumkin. Demak,
kattaliklarga Yangi umumlashgan koordinatalar deb
qarash mumkin. Bu koordinatalar odatda normal koordinatalar deyiladi va ular oddiy tebranishlarni ifodalaydi va qo’yidagi tenglamalarni qanoatlantiradi:
2 0
Lagranj funksiyasi esa bu koordinatalarda qo’yidagicha yoziladi:
L m 2 2 2
2
Agar m almashtirish o’tkazsak,
L 1 2 2 2
2
Mustaqil ishlash uchun savollar:
Ko’p erkinlik darajasiga ega bulgan sistemadagi tebranishlar sistemasi uchun Lagranj funksiyasi qanday bo’ladi?
Harakat tenglamasi va uning yechimini ko’rsating.
Normal koordinatalarni tushuntiring.
ma’ruza: NOCHIZIQLI TEBRANISHLAR.
REJA
Adiabatik invariantlar.
Krilov-Bogolyubov uslubi bilan tuzish.
Parametrik rezonans.
Tez tebranib o’zgaruvchi maydondagi harakat.
TAYANCH SO’Z VA IBOTALAR: chiziqli bo’lmagan tebranishlar, Krilov-Bogolyubov usuli, chiziqli bo’lmagan tebranishlar. parametrik rezonans, yassi mayatnik, bir o’lchamli harakatda Lagranj funksiyasi.
Ko’pgina mexanik sistemalarda harakat chiziqli bo’lmagan tenglamalar yordamida ifodalanadi. Biz o’tgan temada ana shunday tebranishdan – angarmonik tebranishlarni ko’rgan edik. Odatda bunday tenglamalar chiziqli ko’rinishga keltirilganda ularni tekshrish ancha osonlashadi, ammo bu holda chiziqli bo’lmagan tebranishga xos ko’pgina xusisiyatlar yuqolib ketadi shuning uchun bu tenglamani yechishda bir qancha taqribiy usullar taklif qilingan. Shu usullardan biri Krilov-Bogolyubov usulidir.
Qisqacha mayatnik usulida chiziqli bo’lmagan tenglamalarni qaraymiz.
k 2 sin 0
Agar tebranish kichik hisoblansa, sin ni kichik bo’lgani uchun qatorga yoyib
tenglamani
3
sin
3!
5
5!
7
7!
...
k
2
k 2 3
6
k 2 5
0
120
ko’rinishda yozishimiz mumkin. Bu esa chiziqli bo’lmagan ifoda etadi. Krilov- Bogolyubov usuli chiziqli bo’lmagan tayenglamalar ekvivalent chiziqlashtirish usuli hisoblanadi.
Chiziqli bo’lmagan tenglama
x k 2 x
f (x, x)
(1)
ko’rinishga ega bo’lsin. Bu yerda funksiyasi, - kichik parametr.
f (x, x) va
x, x
larning chiziqli bo’lmagan
Agar 0 bo’lsa (1) tenglama
x k 2 x 0
(2)
Chiziqli tenglamaga aylanadi (2) ning yechimi
x a sin
ko’rinishda beriladi. Bu yerda
kt , const, a const
U holda
x ak cos
Krilov-Bogolyubov usulining mohiyati shundan iboratki, (1) ning chiziqmastlik darajasi kichik va tebranish garmonik tebranishlarga yaqin deb hisoblanadi. U holda
x a sin , x a cos , t
bo’ladi. Bu yerda
a a(t), a(t) vaqtning sekin o’zgaruvchi funksiyasi deb
hisoblanadi. U holda chiziqli bo’lmagan tebranishni ifodalovchi (1) tenglama sistemadagi ishqalanish mavjud bo’lganidagi
x 2kx 2 x 0
Chiziqli tenglamaga ekvivalent bo’ladi. Bu yerda
2
(3)
k
2a
f (a sin , a cos ) cosd
0
(4)
2 k 2
a
2
f ( a sin , a cos ) sin d
0
(5)
Biz bilar edikki, (3) ning yechimi
x a sin , a Cekt ,
bo’lar edi, (4) da
k ~
bo’lgani uchun u kichik son bo’ladi va
bo’ladi. U holda
t
Agar a Cekt ekanligini hisobga olsak,
a kCekt ka
Demak (1) tenglamani integrallash (6) va (7) kabi birinchi tartibli differensial tenglamalarni integrallashga keltiriladi.
Misol:
k
2 3
( k )
2
6
Tenglamani yechaylik. Bu yerda
f ( x, x) 3
ning yechimini
tariqasida axtaraniz. ekanligini hisobga olib
2
a sin, a cos
f ( a sin, a cos) a3 sin 3
2
I1
I 2
f (a sin , a cos ) cosd
0
2
f (a sin , a cos ) sind
0
a3 sin 3 cosd
0
2
a3 sin 3 sind
0
integrallarni hisoblaymiz. Ko’rsatish mumkunki,
u holda
I1 0; I 2
3 a3
4
2 k 2 3 a 2
1
4
3 a 2
3 a 2
Biz
k 2
6
ekanligini hisobga olsak,
k (1
4 k 2 )
k (1
8 k 2 )
k (1
a 2
)
16
U holda (6), (7) tenglamalar quydagicha yoziladi:
a
2
a 0, k (1 16 )
(9)
Chunki bizda
n 0
tenglamalarni integrallaymiz:
C 2
a C1
k (1 1 )t C2
16
Biz ning qiymatini
x a sin
yechimga qo’yib topamiz:
C 2
C1 sink (1 1 )t C2
(11)
Agar t 0, a0 , 0
bo’lsa
16
a0 C1 sin C2
0 kC1 cosC2
(12)
(13)
ekanligini topamiz. (13) da
k C 0 , damak cosC 0 yoki C
u holda
1 1 2 2 2
dan C1 a0 demak (11) yechim
a cos k (1 1 a 2 ) t
0 16 0
ko’rinishga ega bo’ladi.
| 