Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

Фараз қилайликки, бизга
q, p
лар ва t нинг функцияси бўлган

^{f  f q, p, t } ва ^{g  gq, p, t }

функциялар берилган бўлсин. Бу функциялар учун Пуассон қавси қуйидагича ёзилади:

^ f
f , g _^ _p
g _ f
q q
g ^


p

 i i i i 

i
Ҳар бири учун бу қавсни қуйидагича топамиз. Функсиялар бирортасининг вақт бўйича тўлиқ ҳосиласи

df _ f _{ (} f _q
 ^f p^ )

dt t
q_i
p_i

q^i , p^{ i} лар ўрнига Гамилтон тенгламасидан қийматларни қўямиз:

df _ f _{ (} f H _
^{f H} )  ^f  f , H 

dt t
q_i
p_i
p_i
q_i t

f -нинг ҳаракат интеграли бўлишлиги учун
df _{ 0}
dt

ёки

^f  f , H  0
t
бўлмоғи зарурдир. Агар ҳаракат интеграли вақтга ошкор боғлиқ бўлмаса,

f _{ 0}
t
бўлади, у ҳолда ^{f , H } ҳам нолга тенг бўлади.

Пуассон қавсининг таърифидан унинг бир қанча хоссалари келиб чиқади:

f₁ f ₂ , g 
f₁ f ₂ , g
f ₂ f₁ , g

4. 
   Вақт бўйича хусусий дифференциаллаш учун Лейбниц қоидаси бажарилади:
   

^ { f , g}  {^f , g} { f , ^g }
t t t

5. 
   Якоби айнияти бажарилади:
   

f , g, h
 g,h, f 
 hf , g  0

Агар функциялардан бири координаталар ёки импулслардан бирига мос келса, Пуассон қавси хусусий ҳосилага келтирилади:

^ f ^ f
f , q_k  _^ _p ^  _p
^{ } k

f , p_{k
 } f
p

(q_i , q_k )  0,

( p_i , p_k )   _ik

k

( p_i , p_k )  0

энди Гамилтон тенгламаларини Пуассон қавси ёрдамида ёзамиз:

q^  ^H
dq_i
ни
_ q_i

 (q , H )  (q , H )

i
^{i p} dt t ^{i i}

Бунга кўра Гамилтон тегламалари қуйдаги кўринишни олади

q^i
 (q_i , H ),
p^i
 ( p_i , H )  (H , p_i )

Bizga ma’lumki ta’sir funksiyasi quyidagi ko’rinishga ega
t_o
S  _ Ldt
t
(1)

erkinlik darajasi birga teng bo’lganda biror trayektoriyadan unga yaqin bo’lgan trayektoriyaga o’tilganda (1) ning o’zgarishi uning variasiyasi orqali berilar edi:
L ^t2 ^ L d L ^


S 
 q |^t2

t
q ¹
_^ _q

_t
1

• 
  _{dt q} ^ qdt
  

(2)

Haqiqiy harakat trayektoriyasi Lagranj tenglamasini qanoatlantirgani uchun (2)
ning o’ng tomonidagi ikkinchi had nolga teng. Agar quyi chegarada ^{ q(t1)  0}
L
desak, ^{ q(t2 )   q} deb belgilash kiritsak va _q ning ^p ekanligini hisobga olsak,

yoki umumiy holda

S  p^ q

hosil bo’ladi. (3) dan

S  _
p^{ i}q_i
(3)

S _
q
p^{ i}

ekanligini topamiz. (2) dan ta’sirning vaqt bo’yicha to’liq hosilasi
S _{ L}
q

(4)

bo’lar edi. Ikkinchi tomondan

i
dS _ S _{ } S _q
 ^S  _ p q^

(5)

dt t

4. 
   va (5) larni solishtirib,
   

q_i t

ekanligini topamiz. Agar
S


_t  L  p_i q_i

ekanligini hisobga olsak

H  _ p_i q^i  L

bo’ladi. Yoki
^S  H
t

Agar


_{p } S
q
^S  H ( p, q, t)  0
t
ekanligini hisobga olsak, (6) quyidagicha yoziladi:
(6)

s
^S  H (q ,...q
, ^S ,..., ^S , t)  0
(7)

t ¹
q₁ q_s

ushbu tenglama Gamilton-Yakobi tenglamasi deyiladi. Xususiy hosilaga ega bo’lgan differensial tenglamalar nazariyasidan ma’lumki, agar tenglama qancha o’zaro bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchilarga ega bo’lsa, uning integrallashguniga qadar shuncha ixtiyoriy doimiyliklarga ega bo’ladi.

S  f (t, q₁ ,..., q_s ,₁,..., _s )  A
(8)

bu yerda ^{1 ,. ,s}
A ixtiyoriy doimiyliklar.

Endi Gamilton – Yakobi tenglamasining to’liq integrali va bizni
qiziqtirayotgan yechimi o’rtasidagi bog’lanishni aniqlaymiz. Buning uchun ^{q, p}
koordinatalardan yangi o’zgaruvchilarga kanonik almashtirish yordamida o’tamiz.

f t, q, 
funksiyani hosilaviy funksiya deb,
₁ ,. ,_s
kattaliklarni yangi

o’zgaruvchilar – impulslar deb olamiz, yangi koordinatalarni belgilaymiz. Kanonik almashtirishlarda ko’rganimizdek,
₁ ,... _s
orqali

p_i 
f _,
q_i
_i 
f _,
_i
H '  H  ^f
t

bu yerda f funksiya Gamilton – Yakobi tenglamasini qanoatlantirgani uchun yangi funksiya ^{N } aynan nolga teng bo’ladi:
H '  H  ^A  H  ^S  0
t t
yangi o’zgaruvchilar Gamilton tenglamasini qanoatlantirgani uchun

^i
  ^{H '}  0,
_i
_i
 H ' _{ 0}
_i

bulardan
₁  const ,
₁  const

Ikkinchi tomondan, S – ta


f_i
_i

 _i

Tenglamalar ^S - ta ^q koordinatalarning vaqt va ^2S – ta ixtiyoriy doimiyliklar

( _i , _i )
orqali ifodalash imkonini beradi. Bu bilan harakat tenglamasining umumiy

integralini topamiz.
Shunday qilib, Gamilton – Yakobi usuli bilan mexanik sistema harakatini topish masalasi quyidagi amallarni bajarishni talab yetadi.

S
_i
 _i

Bu tenglamalar sistemasini yechib, ^q ni vaqtning va ^2S ta ixtiyoriy doimiyliklar
funksiyasi tariqasida topiladi. Impulslarning vaqtga bog’liqligi esa

P_i 
S
q_i

tenglamalardan topiladi.

Agar Gamilton funksiyasi vaqtga oshkor bog’liq bo’lmasa, Gamilton-Yakobi tenglamasining integrali quyidagicha bo’ladi:
S  S₀ q  Et

bu yerda
S ₀ (q)
– qisqartirilgan ta’sir deyiladi. Bundan

S
_{ t}  E  H (q₁ ,..., q_s
, p₁,..., p_s ),
P  ^S
q
_ S₀
q

yoki Gamilton – Yakobi tenglamasi

1 s
H (q ,...q
, ^S0 ,..., ^S0 )  E

(9)

ko’rinishga yega bo’ladi.

q₁
q_s

Ayrim hollarda Gamilton-Yakobi tenglamasining to’liq integrali o’zgaruvchilarga ajratish usuli bilan ham topiladi. Bu usulning mohiyati quyidagicha:

Faraz qilaylik, qandaydir
q₁ koordinata va unga tegishli bo’lgan
S
q₁
hosila

^ S ^

Gamilton – Yakobi tenglamasiga
 ^ q₁ , _q ^
kombinasiyasida kirsin hamda

 1 
boshqa biror koordinata va hosilalarga bog’liq bo’lmasin. U holda Gamilton – Yakobi tenglamasi
^ S S ^ S ^{ }

_q_i , t, _{q t} ,^ q₁ , _q ^ _  0
(10)

_ i  1  _

umumiy ko’rinishga yega bo’ladi. Bu yerda q_u
to’plamini ifodalaydi.
Bu tenglamaning yechimini
S  S q₀t   S₁^q₁ 
q₁ dan tashqari koordinatalar
(11)

yig’indi tariqasida axtaraylik. Bu yechimni (10) ga qo’yamiz:


^q ,t, ^{S ' S '} ,(q , ^S1 )^  0

 _i





1
_ q_i t
q_{1 }
(12)

i

1

1
(q , ^S1 )   ,

^q , t, ^{S '} , ^{S '} , ^  0

q₁
^{ i} q t ^{1 }




(₁ ixtiyoriy doimiylik). Bu tenglamaning birinchisi oddiy differensial tenglama,

uning oddiy integrali
S₁ (q₁ )
ni beradi. Ikkinchisi ham differensial tenglama, lekin

o’zaro bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchilari kamaygan bo’ladi. Shu yo’l bilan tenglamadan S barcha koordinata vaqtni ajratib, yechimi topiladi.
S  _S_k (q_k ,₁ ,..., _s )  E(₁ ,..., _s )t

Bu yerda har bir ^S_k funksiya faqat bitta koordinataga bog’liq bo’ladi, energiya

esa ^₁ ^,..., _s ixtiyoriy doimiyliklar funksiya bo’ladi. Energiya
S₀  _ S_
ni (9)

qo’yib topiladi.

Download 1,07 Mb.