To‘lovlar oqimining dyurasiyasi

148 
Belgilash kiritsak, 
( )
A
Dur
E

  
hosil bo„ladi. 
Elastiklik ta‟rifini eslatamiz. Aytaylik, 
x

argument, 
y

funksiya 
bo„lsin, u holda 
y
ning 
x
bo„yicha
0
x
nuqtadagi elastikligi deb 
y
ning nisbiy 
o„zgarishini 
x
ning nisbiy o„zgarishiga nisbatining 
0
x
 
dagi limitiga aytiladi va
0
( )
y
x
E
x
kabi belgilanadi. Shunday qilib, 
0
0
0
0
0
0
0
0
/
( )
(
/
) : (
/
)
( )
.
/
y
x
dy y
x
E
x
dy dx
y
x
y x
dx x
y










Agar 
2
y
x
E
 
bo„lsa, u holda
x
ning
1%
ga ortishi
y
ning 
2%
ga
kamayishini bildiradi. Dyurasiya jamg„arma koeffitsiyentini o„zgarishidagi 
oqimning joriy qiymatining o„zgarishini bildirar ekan, agar oqimning dyurasiyasi
2 bo„lsa, jamg„arma koeffitsiyentining 
1%
ga ortishidagi oqimning joriy qiymatini 
jamg„arma koeffisiyenti 

bo„yicha differensiallaymiz. 
Demak, 
ln
(
1)ln
ln /
:
/
(
)
k
k
k
t
k
k
t
t
A
k
k
k
k
k
k
d
R e
dA
t R e
A
t R e
d
d







 




 








 












(
/ )
( )
k
k
k
t A
A
dur
 
 


( )
(
/ ).
k
k
k
dur
t A
A
 

Endi barcha to„lovlar nomanfiy deb hisoblaylik, u holda barcha 
k
A
lar ham 
nomanfiy bo„ladi va ularning yig„indisi
A
ga teng bo„lib, barcha
/
k
A
A
lar
yig„indisi 1ga teng bo„ladi. Shuning uchun
/
k
A
A
nisbatlarni ehtimollar, 
/
k
k
k
t A
A

ni esa to„lovlarning o„rta momenti sifatida qarab, ushbu ma‟noda 
tushunish mumkin: 
T
tasodifiy miqdorni diskret deb hisoblab, uning ehtimolini 
shunday aniqlash kerakki, bunda 
(
)
k
k
P T
t
A A


, 
uning matematik kutilishi esa 
[ ]
(
)
k
k
k
M T
t A A


ga teng bo„ladi. Bundan ko„rinadiki, 
(
)
( )
k
k
k
t A A
dur



Demak, quyidagi xulosaga kelamiz: nomanfiy to„lovlarning o„rta momenti 
va to„lovlar oqimining dyurasiyasi o„zaro teng ekan. Agar to„lovlar oqimining
dyurasiyasi 2 ga teng bo„lsa, u holda jamg„arma koeffitsiyenti 1% ga oshganda 
to„lovlar oqimining o„rta momenti 2% ga oshadi. Bundan ko„rinadiki, nomanfiy
to„lovlar oqimining jamg„arma koeffitsiyenti bo„yicha elastikligi manfiy bo„lsa, 

149 
bunday to„lovlar oqimining dyurasiyasi musbat bo„ladi. Agar to„lovlar jamg„arma 
qiymati ma‟lum bo„lsa, u holda to„lovlarning chekli momentigacha, katta 
cheksizga qadar diskontirlash mumkin. 
Bunga oydinlik kiritish maqsadida 
100
R

ming so„m bo„lgan 5 yillik 
rentaning dyurasiyasini yillik 10% stavkada topish talab etiladi. 
Ma‟lumki, 
T
momentdagi 
{
; }
k
k
R t
 
to„lovlar oqimining shu muddatga
diskontirlangan qiymati 
( )
(1
)
,
k
T t
k
k
T
R
i





(1
)
.
k
T t
k
k
A
R
i



Rentaning jamg„arma qiymati 
5
1000(1,1
1)
6105.
0,1
A



5 1
4
1
1000(1 0,1)
1000 1,1
1464,
A






3
2
1000 1,1
1331,
A



2
3
1000 1,1
1210,
A



4
1000 1,1 1100,
A



0
5
1000 1,1
1000.
A



(
)
k
k
P T
t
A A


formuladan 
1
1464
0, 24,
6105
P


2
1331
0, 22,
6105
P


3
1210
0, 20,
6105
P


4
1100
0,18,
6105
P


5
1000
0,16.
6105
P


Dyurasiyani
T
ning momentlik kutilmasi sifatida hisoblaymiz: 
( )
[ ] 1 0, 24
2 0, 22 3 0, 20
4 0,18 5 0,16
2,8.
dur
M T
 
 
 
 
 
 

Risk haqida quyidagi tasdiqlar o„rinli: 
1. Operasiya miqyosi
k
marta ortsa, ya‟ni tasodifiy daromadning barcha 
qiymatlari
k
marta ortsa, operasiyaning samaradorligi
k
marta, riski esa 
k
marta ortadi. 
2. Barcha daromadlar bir xil o„zgarmas son qiymatiga ortsa, operasiyaning 
samaradorligi shu o„zgarmas songa o„zgaradi, risk esa o„zgarmaydi. 

150 
3. 0
1
va 0
2
operatsiyalar yig„indisining dispersiyasi dispersiyalar 
yig„indisiga teng bo„ladi, shuning uchun yig„indi operatsiyaning riski 
2
2
2
1
r
r
r


ga teng bo„ladi. 
4. Umumiy holda, ya‟ni ikkita ixtiyoriy 0
1
va 0
2
operatsiyalar uchun 
operatsiyalar yig„indisining riski 
12
2
1
2
2
2
1
2
k
r
r
r
r


ga teng, bunda

12
k
operatsiyalarning tasodifiy daromadlarining korrelyatsiya koeffitsiyenti. 
Endi umumiyroq holni qaraymiz. Yutuqlar to„plami barcha nomanfiy pul 
miqdori
)
,
0
[



R
dan iborat. Lotereya

R
da ehtimollar taqsimoti bilan
F 
taqsimot funksiya yordamida berilgan bo„lsin. Kutiladigan foydalilikni topish 
qoidasiga ko„ra investor uchun

R
da aniqlangan 
)
(
x
U
foydalilik funksiyasini 
topish mumkin. Lotereyaning foydaligi 
F
ushbu formula bo„yicha hisoblanadi: 



R
x
F
d
x
U
F
U
),
(
)
(
)
(
agar qaralayotgan taqsimot uzluksiz, ya‟ni 
)
(
x
f
zichlik funksiyaga ega bo„lsa, u 
holda 



R
dx
x
f
x
U
F
U
)
(
)
(
)
(
, 
bu esa lotereyaning o„rtacha kutiladigan foydaliligi, 
)
(
x
U
- Bernulli funksiyasi, 
)
(
F
U
- Neyman-Morgenshtern funksiyasi deb yuritiladi.
Misol. Aytaylik, Bernulli funksiyasi 
x
x
U

)
(
ko„rinishda bo„lib, 
lotereyaning yutuqlari
]
1
,
0
[
kesmada tekis taqsimlangan bo„lsa, u holda o„rtacha 
kutiladigan foydalilik 
3
2
3
2
1
0
1
0



x
x
dx
x
ga teng bo„ladi. 
 
Mustaqil yechish uchun masalalar 
1. Ikkita oddiy lotereyalar 
)
8
,
0
;
2
,
0
(
1

L
va 
)
7
,
0
;
3
,
0
(
2

L
qaralayotgan 
bo„lsin. 
)
6
,
0
,
;
4
,
0
,
(
2
1
L
L
murakkab lotereya qanday oddiy lotereyaga ekvivalent 
bo„ladi? 
2. Yuqoridagi lotereyalardan bittasi 0 yutuqqa, ikkinchisi 1 yutuqqa ega 
bo„lsin. 0 yutuqlisi 0 foydalikka, 1 yutuqlisi esa 100 foydalikka ega bo„lsa, 
),
8
,
0
;
2
,
0
(
1

L
)
7
,
0
;
3
,
0
(
2

L
va 
)
6
,
0
,
;
4
,
0
,
(
2
1
L
L
lotereyalarning o„rtacha foydaliligini 
toping? 
3. Investorning boshlang„ich mablag„i 3 mln. so„m bo„lib, pulining 
foydaliligi 
1
)
(


x
x
U
bo„lsin. Unga quyidagicha lotereya taklif etiladi: 0,5
ehtimol bilan 12 mln, 0,5 ehtimol bilan 0 mln. so„m, investor o„yinda ishtirok
etishi kerakmi? 
4. Ushbu ikkita ehtimoliy operatsiya uchun quyidagilar ma‟lum bo„lsin. 

151 
0
1
: 
-10 
50 
0,01 
0,99 
0
2
: 
25 
50 
0,5 
0,5 
0
1
- birinchi operatsiyada investor -10 ga teng bo„lgan pul birligini 0,01
ehtimol bilan, 50 ga teng bo„lgan pul birligini esa 0,99 ehtimol bilan oladi. 0
2
-
ikkinchi operasiyada esa 25 va 50 ga teng bo„lgan pul birliklarini 0,5 ehtimol 
bilan oladi. Investor qaysi operasiyani tanlaydi? 
5. Investor quyidagi ikkita o„yinni qaramoqda. Bu o„yinlarning birida tanga 
tashlanmoqda. Agar tanga gerb tomoni bilan tushsa, investor 100 pul birligini 
oladi, agar raqam tomoni bilan tushsa, 100 pul birligini to„laydi. Bu o„yinda 
to„lovlar quyidagicha taqsimlangan: 
raqam 
gerb 
to„lovlar 
- 100 
100 
0,5 
0,5 
Ikkinchi o„yinda o„yin soqqasi tashlanadi va bunda investorning to„lovlari 
quyidagicha taqsimlangan: 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
to„lovlar 
-200 
-100 
0 
0 
100 
200 
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6. Agar Bernulli funksiyasi 
3
)
(
x
x
U

ko„rinishda bo„lib, lotereyaning 
yutuqlari 
]
1
;
0
[
kesmada tekis taqsimlangan bo„lsa, u holda kutiladigan o„rtacha 
foydalilikni toping. 

Download 3,82 Mb.