|
Qutbli planimetr nazariyasi
|
| bet | 6/9 | | Sana | 06.10.2024 | | Hajmi | 0,99 Mb. | | #273816 |
Qutbli planimetr nazariyasi. Qutbli planimetr bilan yuz hisoblash murakkab nazariyaga asoslanadi. Aylantirish richagi R o‘zining turli harakatida o‘z yo‘lida har xil yuz hosil qilishi mumkin. Masalan, 9.5-shakldagi igna 7 ni 9.7-shaklda A, nuqta 6 ni shaklda V, 9.16-shakldagi g‘ildirak gardishi 15 ni S va buning V dan uzoqligini r deb, bosh sanoqni n1 deylik. Keyin planimetrii quyidagicha harakat qildiraylik (4.10-shakl). Richag SA o‘z yo‘nalishi bo‘yicha harakatlanganda (a holi) richag yo‘lida yuz S hosil bo‘lmaydi va g‘ildirak aylanmay, yolg‘iz suriladi, shuning uchun sanoq ham o‘zgarmaydi, ya’ni p2=p1, S=0 bo‘ladi. Agar SA o‘ziga parallel harakat qilib (b holi) S2A2 holatni egallasa, VA richag o‘z yo‘lida to‘g‘ri. to‘rtburchaklik VAA2V2 ning yuzi S ni hosil qiladi; g‘ildirakning yurgan yo‘li VV2=AA2=h bo‘ladi. Balandlik h sanoq va bir bo‘lakning qiymati orqali aniqlansa, h=(p2—p1) bo‘ladi. SHunda to‘rtburchaklik yuzi,
S=Rh=R (n2—p1) (4.7)
yoki R=R desak,
S=R(n2—p1) (4.8)
bo‘ladi; bu erda R—planimetr bir bo‘lagining qiymati, u balandligi , tomoni R bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklik yuziga teng (8.7-shakl, g), p1—aylantirishdan oldingi sanoq, p2—aylantirilgandan keyingi sanoq.
Agar richag o‘ziga parallel va SA ning yo‘nalishi bo‘ylab harakatlansa (v holi), g‘ildirak qisman aylanadi va qisman suriladi, natijada richag yo‘li parallelogramm hosil qiladi. Uning yuzi S ham S=hR yoki S=R(p2—p1) bo‘ladi.
Agar aylantirish richagi bilan qutb richagi birlashtirilsa (8.8-shakl), keyin M nuqtadan boshlab, MN chiziq bo‘yicha yurgizilsa, VA richag V1A1 holatga kelganda aylantirish richagining yo‘li VAA1V1 parallelogramm yuzi bo‘ladi, keyin V1 nuqtada V1A1 o‘rniga burchak qadar burilsa, V1A1A1 sektor yuzi chiqadi. Bunda g‘ildirak teskari aylanganidan S1 nuqta S1 ga o‘tadi va SS1 yoyi hosil bo‘ladiki, bu radian o‘lchovida SS1=r ga teng. Bunda g‘ildirakning hamma aylanishi h—r=(p2—p1) yoki h—(p2—p1)+r bo‘ladi.
4.7-shakl.
Parallelogrammning yuzi S1=Rh=R(n2—p1)+Rr bo‘ladi. Qutb richagining uzunligini R1 desak u ham OV dan OV1 ga o‘tishda ga burilib, OVV1 sektorini hosil qiladi. SHunda sektor V1A1A1 ning yuzini S2, sektor OVV1 ning yuzini esa S3 desar qutb va aylantirish richaglarining yurishidan hosil bo‘lgan hamma yuz S=S1+S2+S3 bo‘ladi. VV1=R1; A1A1=R ekanini eslasak sektorlar yuzi , bo‘ladi. Bu qiymatlarni S ifodasiga qo‘ysak va R'=R ekanini eslasak,
(a)
chiqadi.
Agar richaglarni yuqoridagidek o‘ng tomonga aylantirsak, har qaysi elementar surishga mos (a) kabi bir necha tenglik chiqadi Bularning yig‘indisini olsak,
(b)
bo‘ladi. Agar aylantirishni shakldagi M nuqtadan boshlab, shakl chegarasi bo‘yicha aylanib chiqsak planimetr qutbi O ning shaklga nisbatan turish joyiga qarab, quyidagi ikki hol bo‘ladi.
1. Agar qutb O shakl ichida tursa, butun chegarani aylanib chiqqanda ==2 bo‘ladi. Buni (b) ga qo‘ysak,
S=R(p2-p1)+2Rr+R2+R12 (v)
chiqadi. O‘zgarmas miqdorlar yig‘indisi (R2+R12+2Rr)=Q desak,
S=P(n2-n1)+Q (8.9)
chiqadi. Q planimetrning konstantasi deyiladi. Bu formula planimetr qutbi shakl ichida turganda qo‘llaniladi.
2. Agar qutb O shakl tashqarisiga o‘rnatilib, shakl chegarasi bo‘ylab aylantirib chiqilsa, masalan, 8.8-shaklda shtrixlangan uchastka chegarasi bo‘yicha A dan boshlab N nuqtagacha yurgizishda va burchaklar qiymati oshib boradi; N dan chapga NKM bo‘yicha yurganda esa kamayadi va bosh nuqta M ga kelganda nol, ya’ni ==0 bo‘ladi. SHunda (b) ifoda quyidagicha yoziladi:
S=R(p2—p1), (8.8)
ya’ni planimetr qutbi shakl tashqarisida turganda shaklning yuzi planimetr bir bo‘lagi qiymatining sanoqlar ayirmasiga ko‘paytirilganiga teng.
4.8-shakl.
Planimetr bilan yuz hisoblashdan avval uning bir bo‘lak qiymati R va o‘zgarmas son Q aniqlanadi. Bu ikkala miqdorning qiymati R ga bog‘liq bo‘lib, R o‘zgartirilmasa, R va Q qiymatlari ham o‘zgarmaydi. Lekin ishlashda shakl kattaligi va boshqa sababga ko‘ra, R qiymati o‘zgartiriladi.
R ni aniqlash. Agar R va qiymatlari va plan masshtabi ma’lum bo‘lsa, R quyidagicha topiladi:
R=M2R (4.10)
bu erda M—masshtab maxraji. Odatda, M va R ma’lum bo‘lsa ham qiymati ma’lum bo‘lmaydi. SHunga ko‘ra R qiymati plan masshtabiga qarab amaliy yo‘l bilan topiladi. (8.8) formuladan:
. (4.11)
Bu formula yordamida R ni aniqlash uchun plandagi kvadratlardan biri yoki bir nechtasi olinadi va uning yuzi plan masshtabi bo‘yicha matematik usulda hisoblab topiladi. Katak tomonining uzunligi 5 sm bo‘lsa, plan masshtabi 1:2000 bo‘lganda, bu uzunlik joydagi 100 m ga to‘g‘ri keladi. SHuning uchun bir katakning yuzi S=100100=10000 m2 bo‘ladi.
Planimetr olinadi, uning nomeri va aylantirish richagining uzunligi R (verner bo‘yicha olinib) vedomost tepasiga yoziladi. Keyin planimetr qutbi kvadratning chap tomoniga (QCH) o‘rnatilib, aylantirish ninaci (sixchasi) kvadrat tomonida belgilangan bir nuqtaga qo‘yiladi-da, sanoq olinadi; bu p1 bo‘ladi. So‘ngra nina katak tomonidan soat strelkasining yurish yo‘li bo‘yicha yurgizib, belgilangan nuqtaga qaytiladi va sanoq olinadi; bu p2 bo‘ladi (8.9-shakl).
4.9-shakl.
SHu xilda aylantirib sanoq olish uch marta takrorlanadi, olingan sanoqlar maxsus jadvalga yoziladi. Bunda birinchi marta aylantirishdagi sanoqlar ayirmasi bilan ikkinchi aylantirishdagi sanoqlap ayirmasi orasidagi farq, shakl yuzining katta-kichikligiga qarab, 3—5 birlikdan oshmasligi kerak.
So‘ngra planimetr qutbini kvadrat katakning o‘ng tomoniga qo‘yib, bunda ham uch marta aylantirib sanoqlar olinadi va ayirmalari topiladi. Keyin barcha ayirmalarning o‘rtacha qiymati topilib, (8.11) formula yordamida R ning qiymati aniqlanadi.
Lekin (8.11) formulaga sanoqlar ayirmalarining arifmetik o‘rta qiymati (p2—p1) qo‘yiladi, ya’ni bo‘ladi.
Q ni aniqlaщ. Q=Pq deb olib, buni (9.8) dagi Q o‘rniga qo‘ysak
S=R(p2-p1)+Rq=R(p2-p1+q) (a)
bo‘ladi. Ixtiyoriy bir shakl olib, planimetr qutbi O ni shakl tashqarisiga qo‘yib aylantirib (8.10-shakl), p1, p2 sanoqlar olinadi. Bunda (8.7) ga binoan shakl yuzi,
S=P(n2-n1) (b)
bo‘ladi.
9.10-shakl.
Keyin qutbni shakl ichidagi O' ga qo‘yib, aylantirib p1, p2 canoqlar olinadi. Bunda (a) ga binoan shakl yuzi,
S=P (n2'—p1'+q) (v)
bo‘ladi. (b) va (v) ning chap tomonlari teng bo‘lganidan, o‘ng tomonlari ham teng, shuning uchun R(p2—n1)=P(n2—p1+q), bu erdan
q=(n2—p1)—(n2'—p1) (8.12)
bo‘ladi. q topilgach, Q=Pq bo‘yicha Q topiladi.
|
| |
