4. Problémák az abszolút fekete test emisszióképességének klasszikus fizikai értelmezésével
A fekete test sugárzásának tanulmányozása mérföldkő volt a tudomány fejlődésében. A 19. század vége felé a klasszikus fizika szinte teljes fegyvertárát bevetették (elektrodinamika, termodinamika, statisztikus fizika), mégsem sikerült levezetni, megmagyarázni az 1.2 ábrán látható spektrális eloszlást. Sőt, az értelmezési kísérletek kudarca egyúttal alapvető problémákra mutatott rá.
Lord RAYLEIGH (eredeti nevén John William Strutt) (1842-1919; Nobel-díj 1904-ben) és James JEANS (1877-1946) brit fizikusoknak 1900-ban sikerült olyan sugárzási törvényt felállítaniuk, amely alacsony f frekvencián, tehát nagy l hullámhosszon helyesen írta le a kísérleti eredményeket, magas frekvencián azonban képletük teljes csődöt mondott. Röviden vázoljuk gondolatmenetük lényegét.
Az 1.1 ábrán látható üreg belsejében elektromágneses állóhullámok alakulnak ki. Ha az üreg teljesen zárt, egy idő múlva beáll a termikus egyensúly, amikor az üreg falában lévő részecskék által az üregbe kisugárzott és az üregből elnyelt elektromágneses sugárzás – minden frekvencián – dinamikus egyensúlyba kerül egymással. Ha ezek után egy nagyon pici lyukat fúrunk az üreg falába, akkor a lyukon át kibocsátott sugárzás spektrális eloszlása szükségszerűen megegyezik a zárt üreg belsejében kialakuló elektromágneses mező energiájának spektrális eloszlásával. Az abszolút fekete test emisszióképessége tehát megkapható az üregben lévő elektromágneses mező energiájának spektrális eloszlásából.
A zárt üregben az elektromágneses mező kielégíti a vákuumbeli Maxwell-egyenleteket. Mivel az eredmény – az abszolút fekete test emisszióképessége – nem függhet sem az üreg alakjától, sem annak anyagától, a számolást legegyszerűbb fémfalú és pl. téglatest alakú üregre elvégezni. Ilyenkor a megoldás olyan állóhullámok szuperpozíciójaként írható föl, ahol az egyes állóhullámokban (módusokban) az elektromos térerősség fallal párhuzamos komponense eltűnik a falakon. Emiatt a peremfeltétel miatt az egyes állóhullámok (Fourier-komponensek) hullámhosszának fele egész számszor kell hogy beleférjen a téglatestbe (az egész számok természetesen különbözők lehetnek a három különböző térbeli irányban). Ennek alapján, elemi megfontolásokból könnyen megkapható (a részletek megtalálhatók pl. Marx György Kvantummechanika c. könyvében), hogy az egységnyi frekvencia-intervallumba eső lehetséges módusok száma a frekvencia négyzetével arányosan nő:
dNf f 2 (1.7)
A gondolatmenet második lépése azon alapul, hogy az elektromágneses mező energiasűrűsége a térerősségek négyzetével arányos, amit az egyes – időben harmonikusan oszcilláló – állóhullám-módusokra alkalmazva, azt kapjuk, hogy a mező teljes energiájához minden egyes Fourier-komponens (módus) az amplitúdójának a négyzetével arányosan járul hozzá. Az energia szempontjából tehát minden egyes módus megfelel egy harmonikus oszcillátornak. A klasszikus statisztikus fizikából pedig már ismert volt az ekvipartíció tétele, amely szerint hőmérsékleti egyensúlyban minden termikus szabadsági fokra (olyan szabadsági fok, amihez tartozó energia a szabadsági fokot leíró koordináta négyzetével arányos) átlagosan ½kBT energia jut, ahol kB 1,38·10-23 J/K a Boltzmann-állandó. Tekintve, hogy egy harmonikus oszcillátor két termikus („négyzetes”) szabadsági foknak felel meg, (az adott esetben ez az elektromos illetve a mágneses komponens amplitúdója) ezért minden egyes módusra termikus egyensúlyban átlagosan ugyanakkora
(1.8)
energia jut. Az (1.7)-ben nem szereplő szorzófaktorokat is kiírva (ügyelve például arra, hogy az elektromágneses állóhullámok transzverzálisak, ezért mindegyiket kétszer kell figyelembe venni a kétféle polarizáció miatt) a Rayleigh-Jeans-féle végső formula:
(1.9)
(A képlet értelemszerűen átírható a hullámhossz függvényeként is.)
Az (1.9) képlet a kis frekvenciákon (nagy hullámhosszakon) pontosan leírja a kísérleti tapasztalatot! Azonban nem rendelkezik maximummal, és ami a legsúlyosabb hibája, nagy frekvenciákon (kis hullámhosszakon) teljesen csődöt mond: minden határon túl nő! Ez azt jelenti, hogy a növekvő számú lehetséges módus együtt az ekvipartíció tétellel, amely szerint mindegyik módusra átlagosan ugyanakkora energia jut, ahhoz vezet, hogy az üreg csak akkor kerülhetne termikus egyensúlyba, ha a környezetéből végtelen nagy energiát vonna el, növekvő frekvenciákon egyre többet („ultraibolya katasztrófa”).
Megjegyezzük, hogy Wien 1896-ban megmutatta, hogy ha az elektromágneses hullámokat klasszikus részecskékből álló ideális gáznak tekintenénk, akkor az emisszióképességre egy olyan képlet vezethető le, ami a nagy frekvenciákon (kis hullámhosszakon) adja vissza a kísérleti eredményeket. Az ő formulája viszont kis frekvenciákon romlott el. Olyan képletet, ami az 1.2 ábrán látható sugárzási görbét minden hullámhosszon helyesen adná vissza, Planck előtt senkinek nem sikerült levezetnie.
|
