5. A Planck-féle sugárzási törvény: a kvantumfizika megszületése
A Rayleigh-Jeans-féle levezetés során az állóhullám-módusok leszámlálásában nincs hiba. A problémát csak az ekvipartíció tételének alkalmazása jelentheti! Az ekvipartíció tétele pedig a statisztikus fizika igen általános elveiből – kicsit leegyszerűsítve: a nagy számok törvényén alapuló Boltzmann-eloszlásból – következik. Az ekvipartíció tételének bizonyításában (amit itt helyhiány miatt mellőzünk, mivel megtalálható más tankönyvekben) egy dolog fontos szerepet játszik: a lehetséges állapotok és a nekik megfelelő energiák folytonosan változnak, ezért a várható érték meghatározásához integrálokat kell elvégezni az ún. fázistérben. (A koordináták és az impulzusok által „kifeszített” absztrakt fázistérről lásd még a … fejezetet ?)
Max PLANCK (1858-1947; Nobel-díj 1918-ban) német fizikus forradalmian új ötlete az volt, hogy „próbaképpen” kiszámította az energia várható értékét egy olyan rendszerre, ahol az energia nem folytonos értékkészletű, hanem diszkrét. A lehető legegyszerűbb diszkrét eloszlást tekintette, ahol a megengedett energiák egy legkisebb adagnak, az ún. energiakvantumnak (e0), csak egész számú többszörösei lehetnek:
n = 0,1,2 … (1.10)
A Boltzmann-eloszlás segítségével egyszerű számolással (ennek részletei megtalálhatók pl. Marx György Kvantummechanika c. könyvében) megmutatható, hogy egy ilyen rendszer energiájának várható értéke T hőmérsékleten:
(1.11)
Ebben az összefügggésben a kBT szorzója egy olyan kifejezés, ami az xe0/kBT0 határesetben egzaktul 1-hez tart. Vagyis, ha az e0 adagossággal nullához tartunk (ún. klasszikus határeset), a levezetés során az összegek integrálokba mennek át, az eredmény pedig átmegy a két termikus szabadsági fokú rendszerekre, például egy harmonikus oszcillátorra vonatkozó ekvipartíció tételbe: . Az 1.3 ábra mutatja az x/(ex-1) függvény viselkedését. Ennek alapján jól látható, hogy az ekvipartíció tétele jó közelítéssel igaz marad kis x értékekre, tehát mindaddig, amíg e0 « kBT. Nagyon nagy x-ekre (e0 » kBT) azonban az (1.11) kifejezés exponenciálisan nullához tart. Ily módon egy olyan szabadsági fokra, amelynek lehetséges energiái túlságosan diszkrétek, vagyis az adagosság túl nagy a kBT ún. termikus energiához képest, T hőmérsékleten gyakorlatilag nulla átlagos energia jut – ahogy mondani szokás, az ilyen szabadsági fok „befagy”.
Ez adta a kulcsot Planck kezébe, hogy megoldja az ultraibolya katasztrófa, sőt az egész hőmérsékleti sugárzás problémáját. Feltételezte, hogy az elektromágneses mező energiája nem változhat folytonosan, hanem csak diszkrét adagokban, méghozzá a frekvenciától függő adagokban. Mivel kis frekvenciákon jól működik az ekvipartíció tétellel nyert Rayleigh-Jeans-féle formula, itt az adagosság kicsi. Nagy frekvenciákon viszont nagy adagossággal be lehet fagyasztani az üreg módusait, így el lehet kerülni az ultraibolya katasztrófát. Az energiakvantumra vonatkozó legegyszerűbb ilyen tulajdonsággal rendelkező összefüggés az egyenes arányosság. Planck feltételezte, hogy
e0 = hf (1.12)
Ezt (1.11)-be helyettesítve, és az (1.8) formulát ezzel a kvantált várható értékkel lecserélve, (1.9) helyett adódik a Planck által 1900-ban fölírt és később róla elnevezett sugárzási törvény:
(1.13)
Kiderült, hogy ez a képlet (illetve ennek hullámhosszra átírt alakja) h alkalmas megválasztásával pontosan leírja az 1.2 ábrán bemutatott kísérleti görbéket. Az illesztésből kapott érték
h 6,62610-34 Js , (1.14)
amit azóta Planck-állandónak nevezünk.
Feladat : Mutassuk meg, hogy az (1.13) Planck-féle sugárzási törvényből következik az (1.5) Stefan-Boltzmann törvény valamint az (1.6b) Wien-féle eltolódási törvény, beleértve a s és Cf konstansok számszerű értékét is! (Útmutatás: vegyük észre, hogy a Planck-féle sugárzási törvény T3 Ê(f/T) alakba írható, amiből már mindkét összefüggés könnyen belátható.)
Megjegyezzük, hogy az üregben lévő elektromágneses mező teljes energiája természetesen tetszőlegesen kis adagokban változhat, hiszen az e0 diszkrétség annál kisebb, minél kisebb frekvenciájú Fourier-komponensről (módusról) van szó.
?! Ezután az Einstein-féle levezetést is be kellene mutatni !!!? Vagy inkább a lézeres részbe … !
|
