|
II.BOB. INTEGRAL TENGLAMALARNI MATEMATIK PAKETLAR YORDAMIDA YECHISH
|
| bet | 4/8 | | Sana | 16.05.2024 | | Hajmi | 1,63 Mb. | | #238701 |
Bog'liq Integral tenglamalarni chekli yig’indilar usuli bilan sonli yechish 2.1. Integral tenglamalarni sonli usullarda hisoblash
Volterraning ikkinchi tur tenglamasi to’g’ri to’rtburchaklar usulida taqribiy yechish.
Volterraning ikkinchi tur integral tenglamasi berilgan bo’lsin
(2.1.1)
oraliqda ta nuqtani olamiz funksiyaga yaqinlashuvchi qiymatlarni topib ulardan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bunday sistemani hosil qilish mumkin, agar tenglamalar tarkibiga kiruvchi integralni hisoblashga yaqin qoida topilsa. Integral parametrga bog’liq.
(2.1.2)
bu ifodani (2.1.1) tenglamaga qo’yib uchun ning qiymatlarini topamiz.
(2.1.3)
qoldiq had juda kichik qiymatga ega bo’lgani uchun uni tashlab yuborishimiz mumkin va
ni hosil qilamiz.
Ko’p hollarda misollarni N-tugun nuqtalarining uncha katta bo’lmagan qiymatlarida hisoblashga aniqlik darajasi yuqori bo’lgan usullardan foydalanish maqsadga muvofiqdir.
Odatda Gauss yoki gauss Kristofel usullarining aniqlik darajasi yuqori bo’lgani uchun ko’p foydalaniladi. Shuningdek to’g’ri to’rtburchaklar va trapetsiya usullaridan foydalanish mumkin. Bu usullar oddiy formulalardan tuzilib, yaxshi samara beradi, lekin Gauss usuliga qaraganda tugun nuqtalar sonini ko’p bo’lishini talab qiladi.
1-misol. Sonli integrallash metodlarini qo’llab quyidagi Fredgolm 2-tur integral tenglamasini yeching.
(2.1.4)
bu yerda , , .
Yechish. Integrallash oralig’ini bo’lakka bo’lib integralni chekli yi’gindi bilan almshtiramix va sonli integrallashning Simpson metodini qo’llaymiz. U holda uchun Simpson formulasi
ko’rinishida bo’ladi, bu yerda va , .
deb olamiz, u holda va
.
Shunday qilib, (2.1.4) tenglamaning taqribiy yechimini
(2.1.5)
ko’rinishida izlaymiz.
Definitions+New Definition komanda yordamida SWP muhitida koeffitsiyentlar , , , , va qiymatlarni topamiz.
(2.1.1) integral tenglamani yechimning nuqtalardagi taqribiy qiymatlariga nisbatan chiziqli algebraic tenglamalar sistemasi bilan almashtiramiz:
, (2.1.6)
, qiymatlar topolgandan keyin ulardan (2.1.4) integral tenglamani taqribiy yechimini, masalan, interpolyatsion ko’phad yordamida topishda foydalanish mumkin. Integral tenglama yechimining taqribiy qiymati sifatida (2.1.5) dan ham foydalanish mumkin. Ko’rinib turibdiki, interpolyatsion ko’phad ko’rinish jihatidan (2.1.5) formulaga qaraganda qulayroq, lekin yechimga yaqinlashish aniqligini ham esda tutish lozim. Bu yaqribiy yechimlar topilgandan keyin ularni taqqoslash uchun mos grafiklar chiziladi.
Shunday qilib, , larni aniqlaydigan (2.1.6) sistema quyidagi ko’rinishni oladi.
Bu sistemaning har bir tenglamasidagi yig’indi belgisini o’zida saqlagan ifodani ajratamiz, va klavishni bosgan holda Evaluate komandasini 2 marta qo’llaymiz, so’ngra bu ajratilgan ifodani Brackets piktogrammadan foydalanib qavsga olamiz. Sistema quyidagi ko’rinishni oladi.
Sistemaning biror koeffitsiyentini o’nlik ko’rinishda yozib olamiz (masalan, 1-tenglamada 1 ning o’rniga 1,0 deb olamiz) va Solve+Exact komanda yordamida oxirgi sistemani yechamiz. Natijada
ni hosil qilamiz.
Bu 5 ta hosil qilingan nuqtalar asosida interpolyatsion ko’phadni tuzamiz. Buning uchun quyidagi matritsani
kiritamiz va Statistics+Fit Curve To Data komandasini qo’llaymiz. Ko’rilgan dialogli derazadan Last Column ni erksiz o’zgaruvchining ustuni sifatida tanlaymiz va Polynomial of Degree knopkasining derazasida 4 ni ko’phadning darajasi sifatida teramiz. Natijada Polynomial fit: ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, integral tenglamaning taqribiy yechimini hosil qilamiz:
Integral tenglamaning taqribiy yechimi sifatida (6) ni ham olish mumkin, u quyidagiga teng bo’ldi:
|
| |
