• Misol.
  • Integral tenglamalarni chekli yig’indilar usuli bilan yechish




    Download 1,63 Mb.
    bet3/8
    Sana16.05.2024
    Hajmi1,63 Mb.
    #238701
    1   2   3   4   5   6   7   8
    Bog'liq
    Integral tenglamalarni chekli yig’indilar usuli bilan sonli yechish

    1.2. Integral tenglamalarni chekli yig’indilar usuli bilan yechish.


    Chekli yig’indilar usuli
    Ushbu aniq integralni kvadratura formulasi yordamida taqribiy yechishga asoslanadi, ya’ni aniq integralni quyidagicha ifodalaymiz:
    , (1.2.1)
    bu yerda segmentdagi nuqtalar; funksiyaning tanlanishidan bog’liq bo’lmagan sonli koeffitsiyentlar va (1.2.1) formulaning qoldiq hadi. Odatda sonli koeffitsiyentlar va quyidagicha tanlanadi:
    va .
    Masalan:
    , ,
    bo’lsa, sonli koeffitsiyentlar uchun quyidagilar o’rinli:

    1. To’g’ri to’rtburchak formulasi uchun:

    , , ;

    1. Trapetsiya umumiy formulasi uchun:

    , ;

    1. bo’lgandagi barcha turdagi Simpson formulasi uchun:

    ,
    ,
    .
    Endi berilgan ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasi
    . (1.2.2)
    ni yechish maqsadida da nuqtalarni va ushbu
    , , ,
    belgilashlarni kiritamiz. U holda, (1.2.1) formulaga asosan, ushbu
    . (1.2.3)
    tenglamalarni hosil qilamiz, bunda -kvadratur, -yechim va -taqribiy yechim orasidagi hatolik.
    (1.2.3) sistemada miqdorni tashlab, ushbu
    . (1.2.4)
    chiziqli algebrik sistemani hosil qilamiz. Ushbu

    Kroneker belgisini kiritsak quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
    ,
    Bu yerda (1.2.4) sistemani quyidagicha yozish mumkin:
    . (1.2.4*)
    Agar
    , (1.2.5)
    Tenglik bajarilsa, (1.2.4*) yagona yechimga ega bo’ladi. Bu yechimlarni Gauss yoki biror usul bilan toppish qiyinchilik tug’dirmaydi.
    , sonlarni topib, (1.2.2) tenglamaning yechimi uchun taqribiy analitik ifodasini hosil qilamiz:
    . (1.2.6)
    algebraik tenglamaning turli ildizlari bo’lgan sonlar, umuman olganda yadroning tqribiy xos qiymatlarini ifodalaydi.
    Agar -orqali
    , (1.2.7)
    bir jinsli tenglamalar sistemasining nolda farqli yechimlarini belgilasak, u holda yadroning taqribiy xos funksiyalari uchun ushbu
    ,
    ifoda aniqlanadi.
    Chekli yig’indilar usulini birinchi tur Fredgolm integral tenglamasi

    uchun ham qo’llasa bo’ladi. Bu holda yechimning nuqtalardagi taqribiy qiymatlari quyidagi sistema yordamida aniqlanadi (1.2.1-rasm):
    . (1.2.8)
    Ikkinchi tur Volter integral tenglamasi uchun chekli yig’indilar usulini qo’llash juda oddiydir. Buning uchun
    ,
    tenglamani ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasi sifatida qaraymiz. Bu holda, agar bo’lsa,

    bo’ladi. Shunga ko’ra (1.2.4) ga mos sistema quyidagicha bo’ladi:
    . (1.2.9)
    yani uchburchak matritsali tenglamalar sistemasini hosil qilamiz (1.2.2-rasm).


    1.2.1-rasm. Ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasini chekli yig’indilar usuli bilan yechishning blok-sxemasi.

    1.2.2-rasm. Ikkinchi tur Volter integral tenglamasini chekli yig’indilar usuli bilan
    yechishning blok-sxemasi.
    Agar
    , (1.2.10)
    tenglik bajarilsa, u holda (1.2.9) sistemadan ketma-ket sonlarni quyidagicha topamiz:

    Eslatib o’tish joizki, berilgan da (1.2.10) shartni bajarish uchun sonli koeffitsiyentlarni yetarlicha kichik qilib olamiz.
    Misol. Chekli yig’indilar usuli yordamida ushbu

    integral tenglamaning taqribiy yechimini toping.
    Yechish. Tugun nuqtalar sifatida , , deb olamiz. Bu nuqtalarga mos yadro va funksiyalarning qiymatlari quyidagi jadvalda keltirilgan:
    qiymatlari jadvali.

    x
    t

    0

    0,5

    1

    0
    0,5
    1

    0
    0
    0

    0,5000
    0,6420
    1,3592

    1
    1,6487
    2,7183



    qiymatlari jadvali.



    0

    0,5

    1



    1

    1,6487

    2,7181

    Simpson kvadratura formulasi



    dan foydalanib, yechimning tugun nuqtalari taqribiy qiymatlari uchun quyidagi sistemani hosil qilamiz:

    bu yerda esa soddalshtirishlardan keyin

    sistemani hosil qilamiz. Bu sistemani yechsak,
    ; ; .
    Taqribiy yechim esa quyidagi formula bilan ifodalanadi:
    .
    Osongina tekshirish mumkinki, misolda berilgan tenglamaning aniq yechimi ga teng bo’ladi.

    Download 1,63 Mb.
    1   2   3   4   5   6   7   8




    Download 1,63 Mb.

    Bosh sahifa
    Aloqalar

        Bosh sahifa



    Integral tenglamalarni chekli yig’indilar usuli bilan yechish

    Download 1,63 Mb.