|
Kurs ishining dolzarbligi
|
| bet | 2/8 | | Sana | 16.05.2024 | | Hajmi | 1,63 Mb. | | #238701 |
Bog'liq Integral tenglamalarni chekli yig’indilar usuli bilan sonli yechishKurs ishining dolzarbligi. Hozirgi kunda hayotimizda juda ko’p masalalarning matematik modeli, albatta differensial tenglamalar va integrallar orqali ifodalanadi. Bularni sonli yechishda sonli metodlardan foydalanamiz. Ushbu kurs ishining mavzusi ham hisoblash usullari va kompyuterning ilmiy tadqiqot ishlarida qo’llanilishiga bog`liq bo’lib, ilmiy va amaliy jihatdan dolzarbdir.
Kurs ishining maqsadi. Ushbu kurs ishini yozishda integral tenglamalarni taqribiy yechish va chekli yig’indilar usullaridan foydalanib sonli yechish yordamida matematik yechish, aniq amaliy masalalarda bu jarayonni ko’rsatish, masalani yechishning algoritmi ko’zda tutilgan.
Kurs ishining vazifalari. Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullarini Maple tizimida, turli dasturlash tillarida ishlashni o’rganish, integrallarni sonli hisoblash metodlarini o’rganish, integral tenglamalarni taqribiy yechishni o’rganish. Integral tenglamalarni taqribiy hisoblash uchun yaratilgan metodlarni o'rganib chiqib, shular asosida algoritm va dasturini ishlab chiqish.
Kurs ishining ob’ekti va predmeti. Integral tenglamalar kurs ishining tadqiqot obyektidir. Ushbu ishda integral tenglamalarni chekli yig’indilar usuli bilan sonli yechish masalasi qaraladi. Quyida masalaning qo’yilishi va uni yechishning ketme-ket algoritmi keltirilgan.
I.BOB. INTEGRAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISH 1.1. Integral tenglamalar nazariyasining asosiy tushunchalari.
Integral tenglama deb shunday tenglamaga aytiladiki, unda noma’lum funksiya aniq integral belgisi ostida qatnashadi. Masalan,
, (1.1)
bu yerda , va berilgan funksiyalar va berilgan parametrdir (ko’pincha u 1 yoki -1 deb olinadi). funksiya integral tenglamaning o’zagi (yadrosi) va funksiya tenglamaning o’ng tomoni (yoki ozod hadi) deyiladi. Shuni ta’kidlash lozimki, kompleks ham, haqiqiy ham bo’lishi mumkin, lekin va doim haqiqiy qiymatni qabul qiladi.
Agar va bo’lsa, u holda (1.1) tenglama
(1.2)
Ko’rinishga ega bo’lib, Fredgolmning I jins integral tengmasi deyiladi. Agar barcha uchun bo’lsa, u holda (1.1) tenglamaning har ikkala tomonini ga bo’lib, qayta belgilab chiqsak, uni
(1.3)
Ko’rinishida yozish mumkin. Bu tenglama Fredgolmning II jins integral tengmasi deyiladi. Agar oraliqning ayrim nuqtalarida bo’lsa, u holda (1.1) tenglama Fredgolmning III jins integral tengmasi deyiladi. III jins tenglama kam o’rganilgan, lekin tadbiqlarda uchraydi.
Yuqoridagi (1.1), (1.3) tenglamalar bir jinsli bo’lmagan tenglamalar deyiladi. Agar (1.3) tenglamada bo’lsa, u holda
(1.4)
Fredgolmning bir jinsli tenglamasi deyiladi. Bu tenglama doimo nulli (trivial) yechimga ega. Agar parametrning ayrim iqymatlarida tenglama notrivial yechimga ega bo’lsa, bunday qiymatlar o’zakning yoki unga mos keladigan (1.4) tenglamaning notrivial yechim esa xos funksiyalar deyiladi. Ushbu
(1.5)
tenglama (1.3) tenglamaga bog’lovchi deyiladi.
Fredgolm tenglamasi nazariyasining asosi quyidagidan iborat:
Agar son o’zakning xarakteristik soni bo’lmasa, u holda
ixtiyoriy ozod had uchun (1.3) tenglama yagona yechimga ega.
Agar son (1.4) bir jinsli tenglamaning xos soni bo’lsa (unga ,
) xos funksiyalar mos keladi), u holda
(1.6)
bog’lovchi tenglamalarning ham xos soni bo’ladi. (1.4) va (1.6) tenglamalarning xos soniga mos keladigan xos funksiyalarining miqdori bir xil bo’ladi.
Agar bir jinsli tenglama notrivial yechimga ega bo’lsa, u holda bir jinsli
bo’lmagan tenglama, umuman aytganda, yechimga ega bo’lmaydi. U holda ega bo’lishi uchun
, (1.7)
ortogonallik shartining bajarilishi zarur va yetarlidir, bu yerda bog’lovchi o’zakning berilgan xos soniga mos keladigan xos funksiyalaridir.
(1.4) tenglama xos sonlarning to’plami chekli masofada limit nuqtaga ega
emas. Agar xos sonlarning to’plami cheksiz bo’lsa, u holda limit nuqta cheksizlikda yotadi.
Tatbiqlarda o’zagi simmetrik bo’lgan, ya’ni
Fredgolm tenglamalari katta ahamiyatga ega. Simmetrik o’zak quyidagi xossalarga ega:
Har qanday simmetrik o’zak hech bo’lmaganda bitta xos songa ega.
Simmetrik o’zakning barcha xos sonlari haqiqiydir.
Simmetrik o’zakning har xil va xos sonlariga mos keladigan
va xos funksiyalari oraliqda o’zaro orthogonal, ya’ni
.
Amaliyotda quyidagi ko’rinishdagi
(1.8)
va
(1.9)
integral tenglamalar ham ko’p uchraydi, bular mos ravishda Bolterraning I hamda II jins integral tenglamalari deyiladi.
Ushbu
funksiyani kiritib, (1.8) va (1.9) Volterra tenglamalarini mos ravishda o’zakli Fredgolm tenglamasi ko’rinishida yozish mumkin. Ammo ko’p hollarda Volterra tenglamalarini mustaqil ravishda tekshirish (va taqribiy yechimini topish) maqsadga muvofiq bo’ladi.
Volterraning I jins tenglamasiga misol sifatida Abelning ushbu
(1.10)
tenglamasini olish mumkin, bu yerda uzluksiz hosilaga ega bo’lgan ma’lum funksiya. Ma’lumki, (1.10) tenglamaning yechimi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.
Agar va lar uzluksiz differentsiallanuvchi funksiyalar bo’lib, barcha uchun bo’lsa, u holda Volterraning (1.8) I jins integral tenglamasi Volterraning (1.9) II jins integral tenglamasiga keltiriladi. Haqiqatan ham, (1.8) tenglamaning har ikkala tomonini bo’yicha differentsiallab,
yoki
tenglamani hosil qilamiz, bu yerda
, .
Shuning uchun ham biz keyinchalik Volterraning II jins tenglamasini qaraymiz.
Yuqorida keltirilgan tenglamalarning hammasi ham chiziqli integral tenglamalar deyiladi, chunki ularda izlanayotgan funksiya birinchi darajada qatnashadi. Chiziqli bo’lmagan integral tenglamalar ham ko’p uchraydi. Ushbu
Urison tenglamasi yoki
Gammershteyn tenglamasi chiziqli bo’lmagan integral tenglamaga misol bo’la oladi.
Integral tenglamalar matematikaning o’zida va uning turli tadbiqlarida uchraydi. Differentsial tenglamalarga Koshi masalasi Volterra integral tenglamasiga, elliptic tenglamalardagi masala Fredgolmning II jins integral tenglamasiga, parabolic va giperbolik tenglamalar esa Fredgolmning I jins tenglamasiga keltiriladi.
Misol. Quyidagi -tartibli oddiy differentsial tenglama uchun Koshi masalasi
(1.11)
berilgan bo’lsin. Bu masalani integral tenglamaga keltirish mumkin. Haqiqatan ham,
(1.12)
deb olamiz, bu yerda yangi noma’lum funksiya. (1.12) tenglamani marta differentsiallaymiz, natijada quyidagiga ega bo’lamiz:
,
.
Shu bilan birga barcha uchun shartning bajarilishi ravshandir. lar uchun topilgan ifodalarni (1.11) tenglamaning chap tomoniga qo’yib, quyidagiga ega bo’lamiz:
, (1.13)
bunda
.
Shunday qilib, (1.11) masala Volterraning II jins (1.13) integral tenglamasini yechishga keltiriladi. (1.13) dan ni topib olib, ni (1.12) formula yordamida aniqlaymiz. Bunga o’xshash misollarni ko’plab keltirish mumkin.
|
| |
