Berilgan burchakka teng burchakni

154
A
B P
Q
C
Aytaylik, 
A
burchak berilgan bo‘lsin. Bu bur-
chakni teng ikkiga bo‘lish, ya’ni uning bissektrisa
-
sini yasash uchun quyidagicha yo‘l tutiladi:
Yasash.
1­qadam
.
 
Markazi
A
nuqtada bo‘lgan ixti
-
yoriy radiusli aylana chiziladi 
(8-rasm)
va uning 
burchak tomonlari bilan kesishish nuqtalari 
B
va 
C
belgilanadi.
2­qadam.
Radiusni o‘zgartirmasdan, markaz
-
lari 
B
va 
C
nuqtalarda bo‘lgan ikkita aylana chi
-
ziladi (
9-rasm
). Bu ikki aylana kesishuvidan hosil 
bo‘lgan 
D
nuqta belgilanadi 
(10-rasm)
. 
3­qadam.
A
va 
D
nuqtadan o‘tuvchi 
AD
nur 
o‘tkaziladi 
(10–11-rasmlar)
. 
AD
 
nur – berilgan burchak bissektrisasi bo‘ladi.

Asoslash.
ABD
va 
ACD
uchburchaklarda 
(11-rasm)
1) yasashga ko‘ra 
AB
= 
AC
;
2) yasashga ko‘ra 
BD
= 
CD
;
3) 
AD
– umumiy tomon.
Uchburchaklar tengligining TTT alomatiga 
ko‘ra,
∆
ABD
= 
∆
ACD
. Xususan, 
∠
BAD 
= 
∠
CAD
.
Masala.
Berilgan to
‘
g‘ri burchakni teng uch
-
ga bo‘ling.
Yechish.
 
∠
A
to‘g‘ri burchak berilgan bo‘lsin. 
Uning uchini markaz qilib, ixtiyoriy radiusli aylana 
chizamiz
 (12-rasm)
. Aylana to‘g‘ri burchak tomon
-
larini 
B
va 
C
nuqtalarda kesib o‘tsin. Radiusni o‘z
-
gartirmasdan markazi 
B
va 
C
nuqtalarda bo‘lgan 
yana ikkita aylana chizamiz. Bu aylanalar birinchi 
aylana bilan kesishgan nuqtalardan to‘g‘ri burchak 
ichida yotganlarini 
P
va 
Q
bilan belgilaymiz. 
AP
 
va 
AQ
nurlarni chizamiz. Bu nurlar berilgan to‘g‘ri 
burchakni uchta teng burchakka ajratadi. Bu tas
-
diqning to‘g‘riligini mustaqil asoslang.
2.Burchak bissektrisasini yasash
9
10
12
11
8

155
Berilgan 
a
to‘g‘ri chiziqqa uning 
O
nuqta-
sidan o‘tuvchi perpendikulyar to‘g‘ri chiziqni 
yasaymiz.
Yasash.
1­qadam.
O
nuqtani markaz qilib ixtiyoriy 
aylana chizamiz. U berilgan to‘g‘ri chiziqni 
A
va 
B
nuqtalarda kesib o‘tsin 
(13-rasm)
.
2­qadam.
A
va 
B
nuqtalarni markaz qi
-
lib, radiusi 
AB
ga teng aylanalar chizamiz
(14–15-rasmlar)
. Bu aylanalarning kesishish 
nuqtalaridan birini 
P
deb belgilaymiz.
3­qadam.
P
va 
O
nuqtalardan o‘tuvchi 
OP
to‘g‘ri chiziqni yasaymiz 
(15–16-rasm)
.
OP
to‘g‘ri chiziq berilgan 
a
to‘g‘ri chiziqqa 
uning 
O
nuqtasidan o‘tuvchi perpendikulyar 
bo‘ladi.
Asoslash.
AOP
va 
BOP
uchburchaklarga 
qaraymiz. Ularda yasashga ko‘ra:
1) 
AO = BO
;
2) 
AP = BP
;
3) 
PO
esa umumiy tomon.
Demak, uchburchaklar tengligining TTT 
alomatiga ko‘ra: 
∆
AOP
= 
∆
BOP
. U holda, 
∠
AOP
=
∠
BOP
. 
Lekin 
∠
AOP
+ 
∠
BOP
= 180°. 
Bundan 
∠
AOP
=
∠
BOP
= 90° ekanligi kelib 
chiqadi.
Demak, haqiqatan ham 
OP
⊥
a
.
Eslatma. 
Berilgan ixtiyoriy burchakni uchga 
bo‘lish masalasi juda qadimgi va mashhur ma
-
sala bo‘lib, bu haqda ko‘p olimlar bosh qotir gan. 
Faqat XIX asrga kelib ayrim burchaklar istisno 
bo‘lib, odatda burchakni teng uchga bo‘lib bo‘l
-
masligi isbotlangan. Masalan, 60° li burchakni 
teng uchga bo‘lib bo‘lmaydi. Gap, albatta, oddiy 
chizg‘ich va sirkul bilan aniq yasash haqida 
bormoqda. Bu asboblar bilan juda katta aniq
-
likda taqribiy yasash yoki boshqa asboblardan 
foydalanib aniq yasash bajarilishi mumkin.
15
16
13
14
3. Berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendi-
kulyar to‘g‘ri chiziq yasash 

156
?
?
?
?
Teorema.
 
To‘g‘ri chiziqda yotmagan nuqta orqali bu to‘g‘ri chiziqqa per-
pendikulyar bo‘lgan yagona to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
Berilgan 
a
to‘g‘ri chiziqqa unda yotmagan 
M
nuqtadan o‘tuvchi perpendikulyar to‘g‘ri chiziqni 
yasaymiz.
Yasash.
1­qadam.
Markazi 
M
nuqtada 
bo‘lgan, 
a
to‘g‘ri chiziqni kesib o‘tuvchi ixtiyoriy 
aylana chizamiz. U berilgan to‘g‘ri chiziqni 
A
va 
B
nuqtalarda kesib o‘tsin 
(17-rasm)
.
2­qadam.
Markazlari 
A
va 
B
nuqtada 
bo‘lgan, radiusi birinchi chizilgan aylana radiusiga 
teng aylanalar chizamiz 
(18–19-rasmlar)
. Bu 
aylanalarning kesishish nuqtalaridan biri 
M
nuqta bo‘ladi. Ikkinchisini 
N
bilan belgilaymiz 
(20-rasm)
.
3­qadam.
M
va 
N
nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq chizamiz. 
MN
berilgan 
a
to‘g‘ri 
chiziqqa perpendikulyar va unda yotmagan
M
 
nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ladi.
Asoslashni 21-rasm asosida mustaqil bajaring.
Bu masalani yechib, 
a
to‘g‘ri chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali
 a
to‘g‘ri chiziqqa 
perpendikulyar to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin degan xulosaga kelamiz. Bundan va 
14-darsda keltirilgan teorema natijasidan quyidagi teoremaning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. 
18
17
20
21
4. Berilgan to‘g‘ri chiziqqa unda 
yotmagan nuqtadan perpendikulyar 
tushirish
19

157
24
22
23
Yasash. 
Aytaylik, 
AB
kesma berilgan 
bo‘lsin. Bu kesmani teng ikkiga bo‘luvchi 
nuqtani topish uchun quyidagicha yo‘l tutiladi:
1­qadam.
Radiusi berilgan 
AB
kesmaga 
teng bo‘lgan, markazlari esa 
A
va 
B
nuqtalar-
da bo‘lgan ikkita aylana chiziladi 
(22-rasm)
.
2­qadam.
Aylanalar kesishgan 
P
va 
D
nuqtalari kesma bilan tutashtiriladi 
(23-rasm)
. 
PD
to‘g‘ri chiziq va
 AB
kesma-
ning kesishish nuqtasi 
O
berilgan kesma
-
ning o‘rtasi bo‘ladi.
O
nuqta haqiqatan ham 
AB
kesmaning 
o‘rtasi bo‘lishini mustaqil asoslang.
6. Berilgan kesmaning o‘rta per-
pendikulyarini yasash
Yasash.
AB
kesma berilgan bo‘lsin. Mar
-
kazlari 
A
va 
B
nuqtalarda bo‘lgan 
AB
radiusli 
aylanalar chizamiz 
(24-rasm)
. Bu aylanalar 
P
va 
D
nuqtalarda kesishadi va yasashga ko‘ra: 
AP=AD=BP=BD
bo‘ladi. 
PD
to‘g‘ri chiziqni o‘tkazamiz.
Bu to‘g‘ri chiziq 
AB
kesmaning o‘rta per
-
pendikulyaridir. 
Asoslash.
 
P
va 
D
nuqtalar 
AB
kesma-
ning uchlaridan teng uzoqlikda yotgani uchun 
shu kesmaning o‘rtasidan o‘tuvchi perpendi
-
kulyarda yotadi. 
Demak, bu nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chi
-
ziq berilgan kesmaning o‘rta perpendikulyari 
bo‘ladi.
Sardor aylana chizib bo‘lgach, uning marka
-
zini qalam bilan belgilashni unutganini payqab 
qoldi. O‘chakishganday, daftarda sirkulning izi
ham qolmabdi. Lekin aylananing radiusi 12
cm
ekanligi uning esida edi. Bu ma’lumotdan foy
-
dalanib, faqat sirkul yordamida chizilgan ayla
-
naning markazini topib bo‘ladimi?

Download 53,35 Mb.