x + 2 bx + k 2x = P0 s in ( p / +
8 )
ko‘rinishni oladi.
(70.3)
(70.3) ten g lam a m uh it qarshilik kuchi t a ’sir etganda m oddiy nuq
taning m ajburiy tebranma harakati differensial tenglamasidan iborat.
(70.3) ten g la m a n in g u m u m iy yech im i (68.4) te n g la m a um um iy
yechim i bilan (70.3) tenglam a xususiy yechim ining yig‘indisidan ibo
rat, y a’ni:
X = X j +X2 ,
b u y e rd a x, b va к larn in g so n q iy m a tla rig a q arab (
68.6), (68.15)
yoki (
68.20) k o ‘rinishida b o ‘ladi, x2 esa quyidagicha topiladi:
x 2 = Dx sin ( p t +
8 ) + D2 cos ( p t + 8).
(70.4)
Z), va D2 o ‘z g arm aslarn i a n iq lash u c h u n (70.4) d an v aq t b o ‘yi-
c h a b irin ch i va ikkinchi tartib li ho sila olam iz:
x 2 = Z), p c o s ( p t +
8 ) - D2p s in (p t + 8),
x
2 = - D^p2 s in (p t + 8) - D2p 2 c o s (p t + 8).
(70.5)
(70.4) va (70.5) larni (70.3) ga q o ‘ysak:
- D ] p 2 sin ( p t +
8 ) - D2p 2 cos ( p t + 8 ) + 2bD {p c o s (p t + 8 ) -
-2 b D 2p s m ( p t +
8) + k 2 Dx sin (/tf + 8 ) + k 2D2 cos ( p t + 8 ) =
= P0 s \n (p t +
8)
(70.6)
hosil b o ia d i.
(70.6) dan:
jZ), ( k 2 - p 2 ) - 2bpD2 = P0 ,
[2 A bp + D2 ( k 2 - p 2 ) = 0
(70.7)
kelib chiqadi.
(70.7) ten g la m a lar sistem asini yechsak:
_
Po(k2- p 2)
IP,bp
1
( k2 - p 2 )2 +4b2p2 ’
2
{k2_p l )2+Ab2pl ■
(70.8)
N a tija d a (70.3) differensial ten g lam an in g xususiy y ech im i quyi
dagi k o ‘rin ish d a yoziladi:
•*2 =
2^2
7
P
2 2 s in ( ^ + 8) ----- 2Pf P
cos( p t +
8). (70.9)
(
k 2 - p 2 )2 +4b2p 2
( k2 - p 2 )2 + 4 l ? p 2
M u h it qarshiligidagi m ajburiy tebran ish ni um um iy h o ld a tekshi-
rish q u la y b o ‘lishi u c h u n Z), va D2 o ‘z g a rm a s la r o ‘rn ig a Aq va (J
o ‘zgarm aslarni kiritam iz. U larni quyidagicha tanlaym iz:
Z), = ^ c o s p , Z
)2 = 4 , s i n p .
(70.10)
128
(70.10)
ni a w a l kvadratga oshirib q o ‘shsak, so ‘ngra (70.10) ning
ikkinchisini birinchisiga hadlab b o ‘lsak va (70.8)ni e ’tiborga olsak:
(70.11)
sl( k2 - p 2 )2 + 4 b 2 p 2
(70.12)
kelib chiqadi. (70.10) ni (70.4) ga
q o ‘y a m iz .
U holda
x2 = Aq s\n {p t + 5 + p)
(70.13)
b o ‘ladi.
Shunday qilib, (70.3) differensial tenglam aning um um iy yechim i:
1) b < к holda
x = ae~bl s in (\lk 2 - b2 ■
t + a ) +
sin^ ?+8+- -—- . tjQ
14)
4 ( k 2 - P2 )2 + 4 b 2 P2 ’ ^
^
2) b > к holda
x = е ы
I
/-I
t ' [ b
2
~-k
2
/-1
Pq
Sin(
/7/+5+Р)
[Cl e, 'lh
+ C2e t4b
J +
0
Y
; (70.15)
4 ( k - p ) +4 b p
3 ) b = k holda
-
Ы
^
.4
Pa s in (p r +
8
+B)
x = g b t(C
1 + C2t) +
0
Y
(70.16)
\j(k - p ) + 4 b p
ten g lam alar bilan ifodalanadi va ulardagi a, a , C, va C
2 o ‘zg arm as-
lar harakatning b o sh lan g ‘ich sh artlarid an foydalanib aniqlanadi.
M uhitning qarshilik kuchi t a ’sir etg an da m oddiy nuqta te b ra n m a
h arak atining grafigi b < к hoi u c h u n 141-rasm da k o ‘rsatilgan; b u n
da m ajburiy tebran ish grafigi pu n k tir chiziq bilan tasvirlangan.
(70.14), (70.15) va (70.16) tenglam alardagi ikkinchi had, y a’ni:
P
q
sin(p/+5+p)
*2 = T i ' n
" T Y
(70-17>
yj(k - p ) + 4 b p
muhit qarshilik kuchi hisobga olingan
holda m oddiy nuqtaning m ajburiy
x
tebranma harakatini ifodalaydi.
M ajburiy te b r a n is h a m p litu d a si
(70.11) tenglikdan aniqlanadi.
M ajburiy te b ra n m a h a ra k a tn in g
d in am ik koeffitsiyenti m u h it q a rsh i
lik kuchi t a ’sir e tg a n h o ld a q u y id a
gicha:
129
а
Ъ
142-rasm.
X = ,
1
4 ( \ - р 2 / к 2 )2 + 4 6 2р 2 Д 4
Agar
_ _ А _ и
(70.18)
к
z ’ к
deb belgilasak,
X = ■
1
(70.19)
л/(1-г
2 )2+4/г2г2
boMadi. 142-rasm , a d a A. va г orasidagi bogM anish grafigi h ning
turli qiym atlari u c h u n ko ‘rsatilgan.
D in am ik k oeffitsiyent к bilan p / к nisbat orasidagi bogM anishni
tekshirish uchu n funksiyani tekshirish qoidasidan foydalanam iz.
(70.19) d a kvadrat ildiz ostidagi ifodani y (z) deb belgilaym iz:
y ( z ) = ( \ - z 2 )2 + 4 h 2z 2 -
(70.20)
Bu fu n k siy an in g e k stre m u m in i to p ish u c h u n z b o ‘y ich a hosila
o lam iz va h osilani nolg a ten g lash tirib, z ^
0 sh artn i q an o atlan tiru v -
chi kritik n u q tala rn i topam iz:
Z\ = 0 , z 2 = Vl - 2 h2 .
(70.21)
Endi г,= 0 uchun (70.20) dan ikkinchi tartibli hosilani hisoblaymiz:
j " ( 0 ) = 4(2/г2 - 1 ) .
V
2
A g a r 2 h2 >1 yo k i h~>— boM sa, ^ " ( 0 ) > 0. S h u n in g u c h u n
Zx — 0 da y (z) funksiya m in im u m g a erishadi. к esa m aksim um qiy-
m atg a ega boMadi. Bu h oi u c h u n 142-rasm , a dagi h = \ m os kela-
^2
______
di. h > — d a 1 — 2 h2 < 0 va z2 = Vl - 2h 2 m avhum son boMib
q o lad i. Bu h o ld a y (z) funksiyaning ikkinchi ekstrem um i boMmaydi.
V
2
72
h < — h o ld a j " ( 0 ) < 0. N a tija d a m in im u m g a erishadi. h < — da
130
г2 = л/l -
2 h2 > О va y"( z
2
) > 0 b o ‘lib,
X maksimum qiymatni qa-
bul qiladi. A,max n i aniqlash uch u n (70.19) dagi
z
o ‘rniga
z2
q iy m ati-
ni q o ‘yamiz:
i
_
1
.
J?.
m ax
/------
7
Г ■
h
= — -
d a
A,
=
1
.
2М 1-Л2 ’
2
max
42
D em ak, h < — boMgan h o ld a m ajb u riy te b ra n ish a m p litu d a si
m aksim um qiym atga erishadi. U ni an iqlash u c h u n (70.21) ning ik-
kinchisiga (70.18) ni q o ‘yamiz:
kelib chiqadi.
M oddiy nuqtanin g teb ran m a harak atig a m u h itn in g qarshilik k u
chi t a ’sir etganda m ajburiy te b ra n m a h a ra k a t va uyg‘otuvchi k u c h
ning doiraviy takrorliklari ham , tebranish davrlari ham bir xil b o ‘lib,
m ajburiy teb ran ish fazasi esa uyg‘otuvchi k uch fazasidan p ga farq
qiladi. p — fazalar siljishi deb ataladi. Bu siljish (70.12) d a n a n iq la
nadi.
(70.12) tenglik (70.18) ga ko‘ra quyidagicha yoziladi:
г= 0 b o ‘lganda tgp = 0. Bu h o ld a k ich ik tak rorlikdagi m ajb uriy
teb ran ish (p <
k)
u ch u n p =
0 , k atta tak ro rlik ip > k)
da esa p = n.
(70.24)
dan k o ‘ram izki, fazalar siljishi
z
ga h am d a qarshilik k oef
fitsiyenti
h
ga b o g ‘liq. p bilan
z
orasidagi m u n o sab at grafigi
h
ning
h a r xil qiym atlari u ch u n 142-rasm ,
b
da k o ‘rsatilgan.
71- §. M oddiy nuqtaning tebranma harakatiga doir
masalalar yechish
M oddiy n u q tan in g te b ra n m a h a ra k a tig a oid m asalalar quyidagi
tartib d a yechiladi.
1.
M oddiy nuqtaning statik m uvozanat holati koordinata boshi deb
qabul qilinib, harakat yo‘nalishi bo'yicha koordinata o ‘qi yo‘naltiriladi.
131
P
=
J k 2 - 2 b 2
•
(70. 22)
(70.22) ni (70.11) ga qo‘ysak:
| 