• Megoldás P 6 - P 5 = 6! - 5! = 720 - 120= 600 2. Hány hatjegyű számot képezhetünk az 1, 1, 3, 3, 3, 6 számokból Megoldás
  • Biometria az orvosi gyakorlatban Valószínűségszámítás




    Download 0.96 Mb.
    bet1/4
    Sana07.04.2017
    Hajmi0.96 Mb.
    #3292
      1   2   3   4

    3. Valószínűségszámítás

    3.1. Bevezetés

    A valószínűségszámítás a matematikának egy önállóan fejlődő ága és erre a fogalomrendszerre épül a matematikai statisztika (biometria) is. A modern valószínűségszámítás kidolgozása Kolmogorov orosz matematikus nevéhez fűződik, aki ebben 1930-ban fektette le a valószínűségszámítás alapjait.

    A valószínűségszámítás csak egy eszköz a döntéseinkhez. Egy olyan eszköz, mely számszerűsíti egy esemény bekövetkezésének az esélyét, és ezen érték alapján dönteni lehet az eseményre bekövetkezésére vagy be nem következésére vonatkozóan.

    A valószínűségszámítás a következő fogalmakra épül.
    3.2. Kombinatorika

    A kombinatórika (kapcsolástan) az elemek csoportosításával foglalkozik. Elsődleges feladata az elemek csoportjainak előállítása, valamint a csoportok számának meghatározása. Az elemek egy elrendezését komplexiónak nevezzük.

    Az elemek elrendezésének három legfontosabb fogalma a permutáció, a variáció és a kombináció témaköréhez tartozik.
    3.2.1. Permutációk

    Ha az elrendezendő (n db) elemek mind különbözők, akkor ismétlés nélküli, ha az elemek között azonosak is vannak, akkor ismétléses permutációról beszélhetünk. Megegyezés szerint az azonos elemek felcserélését nem tekintjük különböző sorrendnek.

    Az ismétlés nélküli permutációk száma:

    Pn = 123 ... n =n! vagy röviden Pn = n!

    Jelölésben n! (ejtsd: n faktoriális), ami az n elem faktoriális értékét jelöli. Megállapodás szerint 0! = 1.

    Ismétléses permutációk száma:



    =

    ahol k1,k2,k3,...,kn az egymás közt megegyező elemek számát jelöli.

    Példák
    1. Hány hatjegyű szám állítható elő a 0, 1, 4, 5, 6, 8 számjegyekből?
    Megoldás
    P6 - P5 = 6! - 5! = 720 - 120= 600
    2. Hány hatjegyű számot képezhetünk az 1, 1, 3, 3, 3, 6 számokból?
    Megoldás
    A számok ismétléses permutáció adja a megoldást

    3.2.2. Variációk

    Ha n számú különböző elemből kiválasztunk k(k n) számú elemet úgy, hogy figyelembe vesszük ezek sorrendjét is, akkor n elem k–ad osztályú variációjáról beszélünk. Az összes variáció számát a



    kifejezés adja.

    Ha az n elemből úgy választunk k elemet tartalmazó csoportokat, hogy a csoportban egy elem többször is szerepelhet és az elemek sorrendje is fontos, akkor az n elem k–ad osztályú ismétléses variációját határozzuk meg:

    A felső indexben az i betű jelöli az ismétléses variációt.

    Példák
    1. Négy sebész kettesével, felváltva használja a műtőt úgy, hogy az egyikük a vezető sebész legyen. Adjuk meg a lehetséges beosztást.
    Megoldás
    Legyen A, B, C, D a négy sebész. A vezető mindig az első helyre kerül, amire 4 lehetőség adódik. A “beosztott” sebészt a maradó 3 fő közül választhatjuk ki. Így a lehetőségek száma
    4*3 = 12
    A párok tehát:
    AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC
    2. A METRO aluljárójában 4 ablaknál lehet bérletet, jegyet venni. Az egyszerre odaérkező 8 fő, hányféle módon kereshet ablakot magának?
    Megoldás
    Ugyanannál az ablaknál való elhelyezkedés is megengedett, tehát 4 elemből (ablakból) kell 8-as csoportokat képezni a sorrend beszámításával. A csoportok számát az ismétléses variáció adja:

    3.2.3. Kombinációk

    Ha az n számú különböző elemből úgy választunk ki k (kn) számút minden lehetséges módon, hogy a kiválasztás során a csoportokon belül az elemek sorrendje nem fontos, akkor n elem k–ad osztályú kombinációjáról beszélünk. Az összes lehetséges kiválasztás száma:



    Az jelölést úgy olvassuk, hogy “n alatt a k”.

    Ha a k elem között egy elem többször is előfordulhat, akkor n elem k–ad osztályú ismétléses kombinációjáról beszélünk. Az összes kiválasztási lehetőségek száma:




    Download 0.96 Mb.
      1   2   3   4




    Download 0.96 Mb.

    Bosh sahifa
    Aloqalar

        Bosh sahifa



    Biometria az orvosi gyakorlatban Valószínűségszámítás

    Download 0.96 Mb.