1-mavzu. Matrisa va ular ustida amallar

Bu еrda
^{A, B,С }bir xil o‘lchamli matritsalar, ^ matritsa
^{A, B,С} matritsalar bilan

bir xil o‘lchamli nol matritsa,
k, n ixtiyoriy haqiqiy sonlar.

^{Faqat va faqat zanjirlangan matritsalar ustida koʻpaytirish amali bajariladi.} m  p

oʻlchamli
A  (a_ij )
^matritsaning p  n
oʻlchamli
B  (b_jk )
matritsaga koʻpaytmasideb

elementlari
c_ik  a_i1b_1k  a_i2b_2k  ...  a_ipb_pk
kabi aniqlanadigan m  n
oʻlchamli
С  (c_ik )

matritsaga aytiladi. Bu formuladan koʻrish mumkinki, A va B matritsalarning

koʻpaytmasi C matritsadagi
^cik
element A matritsaning i  satrida joylashgan har bir

elementni B matritsaning k  ustunida joylashgan mos oʻrindagi elementga koʻpaytirish va hosil boʻlgan koʻpaytmalarni qoʻshish natijasida aniqlanadi.

^{ a}11 ^a12 ^
_ b b _

Masalan, bizga umumiy holda
^{A   a a }va B 
11 12
koʻrinishdagi

_ 21 22 _
 _{b b} 

 _{a a} 
 21 22 

 31 32 
matritsalar berilgan boʻlsin. Bu matritsalarni koʻpaytirish quyidagicha amalga oshiriladi:

^{ a}11 ^a12 ^_{ b b }
^{ a}11^b11 ^{ a}12^b21 ^a11^b12 ^{ a}12^b22 ^

AB  ^ a a ^
11 12
 ^ a b  a b a b

• 
  a b ^ .
  

_ 21 22 _ _{b b} 
_ 21 11 22 21 21 12 22 22 _

^ a a
_ 21 22 
^ a b

• 
  a b a b
  
• 
  a b ^
  

 31 32   31 11 32 21 31 12 32 22 
Endi buni aniq misollarda koʻrib chiqamiz.
Misol. Quyidagi A matritsani B matritsaga koʻpaytiring:
_ 3 1 1 _{ } 1 1 -1_
A  ^ 2 1 2 ^, B  ^ 2 -1 1 ^.
   

   
^ 1 2 3 ^{ } 1 0 1 ^

Yechish. 1.Izlanayotgan C  AB
matritsaning
^c₁₁ elementi A matritsaning birinchi

satr elementlarini B matritsaning birinchi ustun mos elementlari bilan koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng, ya’ni

^c12
 (3 1 1)^ 1^  3 1 1(1) 1 0  2 .

 
 ₀ 
 

2. 
   Birinchi satr va uchinchi ustun elementi
   

_ 1_
c  (3 1 1)^ 1 ^  3  (1) 11 11  1
13 _{ }
 ₁ 
 
kabi aniqlanadi.

2. 
   Izlanayotgan matritsaning ikkinchi satr elementlari A matritsaning ikkinchi satr elementlarining B matritsaning mos ravishda 1-,2-,3-ustun elementlari bilan koʻpaytmalarining yigʻindisi sifatida topiladi:
   

c₂₁ 
2 1  1 2  2 1  6;

c₂₂  2 1  1 (1)  2  0  1;
c₂₃  2  (1)  11  2 1  1.

2. 
   C matritsaning uchinchi satr elementlari ham shunga oʻxshash topiladi:
   

c₃₁  11  2  2  3 1  8;
c₃₂  11  2  (1)  3  0  1;
c₃₃  1 (1)  2 1  3 1  4.

Shunday qilib,


_ 6 2 1_

 
C  AB  ^ 6 1 1 ^ .
^ 8 1 4 ^
 
Misol. Quyidagi A matritsani B matritsaga koʻpaytiring:
¹ 

 
 ₂ 
A  1 2 3 4 , ^{B   .
} 3 ^

4
 
 
Yechish. Bu matritsalar zanjirlangan boʻlganligi sababli ular ustida koʻpaytirish amali bajariladi.

A va B matritsalar uchun
AB  BA ^{ AB  BA} munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda A va B

matritsalar kommutativ (antikommutativ) matritsalar deyiladi. Masalan, E birlik matritsa ixtiyoriy A kvadrat matritsa bilan kommutativdir. Haqiqatan ham
AE  EA  A .
Matritsalarni koʻpaytirish amali quyidagi xossalarga ega:
1) (kA)B  k( AB)  A_kB_;
2)( A  B)C  AC  BC;

3. 
   A(B  C)  AB  AC;
   
4. 
   A(BC)  ( AB)C.
   

Keltirilgan xossalardan toʻrtinchisini quyidagi misol yordamida tekshiramiz.

Misol.

A  _1 2_ ,
B  ^{ 3 4 } va C  ^{ 3 0 2 }matritsalar berilgan boʻlsin:

2 1

 

 
   _{5 1 0} 

 _{2 1} 
^{1. AB } ^{1 2}^{ 3 4  } ^{7 6}^,
 

^ 5 1 0 ^
( AB)C  _7 6_^{ 3 0 2 }  _51 6 14_,
 

^ 2 1 ^ 5 1 0 ^{  }11 1 4
_{2. BC  } 3 4 _ 3 0 2 _{  } 29 4 6 _,
    

^ 11 1 4 ^{
A(BC) } ^{1 2}^{ 29 4 6  } ^{51 6 14}^.
 
Koʻrinib turibdiki, ikki xil hisoblash usulida ham natija bir xil.

A kvadrat matritsani
^m ^{m  1}^{butun musbat darajaga ko‘tarish quyidagicha}

amalga oshiriladi:
A^m 

Agar A matritsada barcha satrlari matritsaning mos ustunlari bilan almashtirilsa, u

holda hosil boʻlgan A^T matritsa A matritsaga transponirlangan matritsa deyiladi.
Transponirlangan matritsalar quyidagi xossalarga ega:

1)_ A^T _T
2)(kA)^T
 A,
 kA^T ,

3( A  B)^T
 A^T

• 
  B^T ,
  

4( AB)^T  B^T A^T .
_ 2

1_

Masalan, ^{A   3 4 } boʻlsa, A^T  ^{
2 3 5 } boʻladi.

 
 

5 0
 
 
Agar A kvadrat matritsa uchun matritsaga simmetrik matritsadeyiladi.
_ 4 5 2 _
^ 1 4 0 ^
A  A^T munosabat oʻrinli boʻlsa, u holda bu

Masalan,
A  ^ 5 8 3 ^

 

 
^ 2 3 7 ^
simmetrik matritsaning elementlari bosh diagonalga

nisbatan simmetrik joylashgan.
n  tartibli simmetrik matritsaning turli elementlari soni koʻpi bilan teng, bunda n  natural son.


n(n  1)
₂ ga

Agar A kvadrat matritsada
A  A^T
munosabat oʻrinli boʻlsa, bunday matritsaga

qiya simmetrik matritsa deb ataladi. Masalan,
_ 0 5 2 _
A  ^ 5 0 3 ^.
 
^ 2 3 0 ^

 
n  tartibli qiya simmetrik matritsaning turli elementlari soni koʻpi bilan formula yordamida topiladi, bunda n  natural son.


n²  n  1

Masalan, ^{A   0 0 4 0 1 }
matritsapog‘onasimon matritsadir.

 
^ 0 0 0 7 0 ^
 
Iqtisodiy masalalarni matematik modellashtirishda, ya’ni, iqtisodiy muammoni matematik ifodalar yordamidagi ifodasida, matritsalardan keng foydalaniladi. Bunda muhim tushunchalardan biri texnologik matritsa tushunchasidir. Bu matritsa, masalan, bir nechta turdagi resurslardan bir nechta mahsulot turlarini ishlab chiqarishni rejalashtirish (programmalashtirish), tarmoqlararo balansni modellashtirish kabi muhim iqtisodiy masalalarda asosiy rolni oʻynaydi.
Faraz qilaylik oʻrganilayotgan iqtisodiy jarayonda n хil mаhsulоt ishlаb chiqаrish uchun m хil ishlаb chiqаrish fаktоrlаri (resurslar) zаrur boʻlsin. i  mahsulotning bir

birligini ishlab chiqarish uchun j  turdagi resursdan
^aij
miqdori sarflansin.
^aij

elementlardan tuzilgan m  n oʻlchamli A matritsa texnologik matritsa deb ataladi.

1-turdagi mahsulotdan
^x₁ miqdorda, 2-turdagi mahsulotdan
^x₂ miqdorda, ..., n 

turdagi mahsulotdan
 ^x₁ 
^x_n birlik miqdorda ishlab chiqarilishi talab qilinsin. Bu rejani

 _x 

_{X }  ² 
ustun vektor ( n 1
oʻlchamli matritsa) shaklida ifodalaymiz. U holda 1-

^... ^
 _x 
 n 

turdagi resurs sarfi
a₁₁ x₁  ...  a_1n x_n
ga, ikkinchi turdagi resurs sarfi
a₂₁ x₁  ...  a_2n x_n ga

teng. Umumlashtiradigan boʻlsak, ishlab chiqarish rejasini bajarish uchun zarur boʻlgan

j  turdagi resurs sarfi
a_j1 x₁  ...  a_jn x_n
birlikka teng. Bu miqdorlarni ustun vektor

sifatida yozsak aynan AX koʻpaytmani hosil qilamiz.

j  mahsulotning bir birligining narxi ^c _j
boʻlsin. Narxlar vektorini
C  (c₁,...,c_n )

koʻrinishda ifodalaymiz. U holda CX koʻpaytma, matritsalarni koʻpaytirish qoidasiga koʻra, skalyar miqdor, ya’ni sondan iborat. Bu son ishlab chiqarishdan olingan daromadni ifodalaydi.

i  turdagi resurs zahirasi miqdori b_i
birlikka teng boʻlsin. Resurs zahiralari

 ^b₁ 
 _b 

vektorini ustun vektor shaklida ifodalaymiz:
^{B   2 } . U holda AX  B
tengsizlik

^... ^
 _b 
 m 
ishlab chiqarishda resurs zahiralari hisobga olinishi zarurligini bildiradi. Bu vektor tengsizlik AX vektorning har bir elementi B vektorning mos elementidan katta

emasligini bildiradi. AX  B
shartni qanoatlantiruvchi X rejani joiz reja, deb ataymiz.

zahirasini ifodalovchi vektorni tuzing. ^{ 500 },
_ 600_
rejalar joiz reja boʻla oladimi?

   
^ 600^{ } 600^