2.1. Fure qatori va uning xossalari.
Ba’zi muhim tushunchalar.
Funksiyalarni davriy davom ettirish. f(x ) funksiya (a,b] yarim intervalda berilgan bo'lsin. Bu funksiya yordamida quyidagi
f’(x) = f(x-(b-a)m), x∈(a+m(b- a), b+m(b-a)]
(m=0, ± 1, ± 2,. ) (1)
funksiyani tuzamiz. Ravshanki, endi f”(x) funksiya (-∞,+∞) oraliqda berilgan va davriy funksiya bo'ladi. Uning davri T0 =b-a ga teng. Bajarilgan bu jarayonni funksiyani davriy davom ettirish deyiladi.
Fure qatorning ta’rifi
Har bir hadi
un{x)=an cos nx+bn sin nx (n = 0,1,2,… )
garmonikadan iborat ushbu
a0+ (16)
funksional qatomi qaraylik.
Odatda (16) qator trigonomelrik qator deb ataladi. a0,a1,b1,a2,b2,... sonlar
esa trigonometrik qatoming koeffitsientlari deyiladi.
trigonometrik qatorning qismiy yig'indisi
T0(x)= a0+
trigonometrik ko'phad deb ataladi.
f(x) funksiya [-π;π] da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo'lsin. U holda f(x)cosnx, f(x)sinnx (n = 1,2,3, )
funksiyalar ham ikkita integrallanuvchi funksiyalar ko'paytmasi sifatida [-π;π] da integrallanuvchi bo'ladi. Bu funksiyalar integrallarini hisoblab, ularni quyidagicha belgilaylik:
(n=0, 1, 2, ...) (17)
(n=1, 2, 3, …)
Bu sonlardan foydalanib ushbu
T (f,x) = a0/2+ (18)
trigonometrik qatoni tuzamiz.
2-ta’rif. a0,a1,b1,a2,b2,... koeffitsientlari (17) formulalar bilan aniqlangan (18) trigonomeirik qator f(x) funksiyaning Fure qatori dcb ataladi. a0,a1,b1,a2,b2,... sonlar esa f(x) funksiyaning Fure koeffitsientlari deyiladi.
Demak, berilgan funksiyaning Fure qatori shunday trigonometrik qatorki uning koeffitsientlari shu funksiyaga bog'liq bo'lib, (17) formulalar bilan aniqlanadi. Shu sababli (18) qatorni (uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishidan qat'iy nazar) ushbu belgi “∽” bilan quyidagicha yoziladi:
f(x)∽T(f,x)= a0/2+
Ushbu f(x)= eαx (-π≤x≥π, α≠0)
funksiyaning Furye qatori topilsin.
(17) formuladan foydalanib bu funksiyaning Furye koeffitsientlarini topamiz:
a0= dx = ( - )= sh
= = sh
(n=1,2,3…)
=
= sh (n=1,2,3, …)
Demak. berilgan funksiyaning Furye qatori
~ +
bo’ladi.
|
