Qator yaqinlashishining zaruriy sharti.
4-teorema. Agar
(11)
qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda uning an umumiy hadi n cheksizga intilganda nolga intiladi, ya’ni bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, (11) qator yaqinlashuvchi va yig‘indisi S ga ya’ni bo‘lsin. U holda {Sn} ketma-ketlikning qism ketma-ketligi ham yaqinlashuvchi va bo‘ladi.
Ravshanki. bundan mavjud va . Shunday qilib, (11) qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning umumiy hadi nolga intilishi zarur ekan.
Yuqoridagi teoremadan qator uzoqlashishining yetarli sharti kelib chiqadi.
Natija. Agar (11) qatorning an umumiy hadi n cheksizga intilganda noldan farqli chekli limitga ega bo‘lsa, yoki limitga ega bo‘lmasa, u holda bu qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Bu natija ba’zi qatorlarning uzoqlashuvchi ekanligiga oson ishonch hosil qilishga yordam beradi.
4-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Qatorning umumiy hadi ga teng va demak, yuqoridagi natijaga ko‘ra qator uzoqlashuvchi.
5-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishiga tekshiring.
Yechish. Bu qatorning umumiy hadi an= va . Demak, berilgan qator uzoqlashuvchi.
6-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishiga tekshiring.
Yechish. Bu qatorning umumiy hadi da limitga ega emas. Demak, qator uzoqlashuvchi.
Yuqorida isbotlangan teoremaning teskarisi, ya’ni shartdan qatorning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqavermaydi.
Bunga misol sifatida garmonik qator deb ataluvchi ushbu qatorni qaraymiz:
(12)
Garmonik qatorning uzoqlashuvchi ekanliligini ko‘rsatamiz. Buning uchun teskaridan, ya’ni garmonik qator yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz. U holda uning xususiy yig‘indisi chekli S limitga ega bo‘ladi. Ravshanki, qatorning xususiy yig‘indisi ham shu limitga ega bo‘ladi.
Bu holda
.
Ammo
ya’ni , bundan ketma-ketlikning da nolga intilmasligi kelib chiqadi. Bu esa garmonik qator yaqinlashuvchi degan farazimizga zid. Demak, garmonik qator uzoqlashuvchi ekan.
Izoh. (12) qatorning ikkinchi hadidan boshlab har bir hadi u bilan qo‘shni bo‘lgan hadlarning o‘rta garmonigiga teng (ikkita musbat a va b sonlarning o‘rta garmonigi deb songa aytiladi). Shu sababli bu qator garmonik qator deyiladi.
|
