|
Berilgan qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli sharti Koshi kriteriyasi orqali beriladi:
5-teorema. Ushbu
(13)
qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun ixtiyoriy musbat son olinganda ham shunday n0 natural sonni ko‘rsatish mumkin bo‘lib, barcha n>n0 va istalgan natural p sonda , boshqacha aytganda
(14)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. (13) qator yaqinlashuvchi, ya’ni bo‘lsin.
U holda ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishining Koshi kriteriyasiga ko‘ra ixtiyoriy musbat son uchun shunday n0 natural son topilib, barcha m> n0 va n> n0 larda
(15)
tengsizlik bajariladi. m=n+p deb olib, (15) dan (14) ni hosil qilamiz.
Yetarliligi. Teorema qator xususiy yig‘indilar ketma-ketligi {Sn} ning yaqinlashuvchi ekanligini bildiradi. Demak, ta’rif bo‘yicha (13) qator yaqinlashuvchi.
6-misol. Koshi kriteriyasidan foydalanib,
qatorning yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang.
Yechish. Ixtiyoriy musbat soni uchun shunday n0 natural son topilib, n>n0 va istalgan r natural sonda bajarilishini ko‘rsatamiz.
Ravshanki, . Bulardan
ya’ni tengsizlikning istalgan n da o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Demak, da tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Shunday qilib, ixtiyoriy >0 son uchun n0=[1/] deb olsak, n> n0 va istalgan n natural son uchun tengsizlikning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Demak, qator yaqinlashuvchi.
Koshi kriteriyasi nazariy tadqiqotlarda muhim ahamiyatga ega. Uning yordamida qatorlar haqidagi teoremalar isbotlanadi. Amalda, ya’ni berilgan qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlashda (14) tengsizlikning bajarilishini tekshirish ancha noqulay. Shu sababli amaliyotda boshqa alomatlardan foydalaniladi.
II-BOB. FURE QATORLARI VA UNING TADBIQLARI.
|
