8-misol. funksiyaning Fure qatori yozilsin.
Yuqoridagi formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Fure koeffisiyentlarini topamiz:
(n=1,2,3…)
Demak, funksiyaning Fure qatori ushbu
ko’rinishda bo’ladi.
9-misol. Ushbu
toq funsiyaning Fure qatori yozilsin.
Demak, funksiyaning Fure qatori quyidagicha bo’ladi:
Biz yuqorida oraliqda berilgan funksiya uchun uning Fure qatori tushunchasini kiritdik. Bunday tushunchani ixtiyoriy oraliqda berilgan funksiya uchun ham kiritish mumkin.
funksiya da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin.
Ravshanki, ushbu
(19)
almashtirish oraliqni oraliqqa o’tkazadi. Agar
deyilsa, funksiyani da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lishini ko’rish qiyin emas. Bu funksiyaning Fure qatori quyidagicha bo’ladi:
bunda,
(n=0,1,2,3…)
n=(0,1,2,3…)
Yuqoridagi, (19) tenglikni olsak, unda
bo’lib, uning koeffisiyentlari esa
bo’ladi.
Natijada
ga ega bo’lamiz, bunda
(2) ning o’ng tomonidagi trigonometrik qatorni da berilgan ning Fure qatori deyiladi. (4) Fure koeffisiyentlari deyiladi.
10-misol. Ushbu
Funksiyaning Fure qatori yozilsin.
formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Fure koeffisiyentlarini topamiz:
Demak, funksiyaning Fure qatori ushbu
ko’rinishda bo’ladi.
Bo‘lakli-differensiallanuvchi funksiya tushunchasi. Dirixle teoremasi.
Agar [a;b] kesmani chekli sondagi x1, x2, .., xn-1 nuqtalar yordamida [x0;x1], [x1;x2], [x2;x3], …, [xn-1;xn] (bu yerda x0=a, xn=b) kesmalarga ajratish mumkin bo‘lib, bu kesmalarga mos intervallarda f(x) funksiya differensiallanuvchi hamda x=xk (k=0, 1, 2, …, n-1) nuqtalarda chekli o‘ng va chap (k=1, 2, …, n) hosilalarga ega bo‘lsa, u holda f(x) funksiya [a;b] kesmada bo‘lakli-differensiallanuvchi deyiladi.
Izoh. x=xk (k=0, 1, 2, …, n-1) nuqtalarda o‘ng hosilani hisoblaganda funksiyaning x=xk nuqtadagi qiymati deb qabul qilinadi. Shunga o‘xshash, x=xk (k=1, 2, …, n) nuqtalarda chap hosilani hisoblaganda funksiyaning x=xk nuqtadagi qiymati deb qabul qilinadi.
4-rasm
4-rasmda bo‘lakli-differensiallanuvchi funksiyaga misol keltirilgan. Yuqoridagi izohdan ko‘rinadiki, funksiyaning x1, x2, .., xn-1 nuqtalardagi qiymatlari funksiyaning shu nuqtalar atrofidagi qiymatlari bilan bog‘liq bo‘lishi shart emas.
Agar f(x) funksiya bo‘lakli-differensiallanuvchi funksiya bo‘lsa, u holda bu funksiya va uning hosilasi faqat x1, x2, .., xn-1 nuqtalarda birinchi tur uzilishga ega bo‘lishi mumkin.
|
