= (5)
1.2. Yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari.
Bizga ushbu
va
qatorlar berilgan va c ixtiyoriy o‘zgarmas son bo‘lsin.
Ushbu
qator (6) qatorni c o‘zgarmas songa ko‘paytirish natijasida hosil qilingan deyiladi.
qatorlar esa, mos ravishda (6) va (7) qatorlarning yig‘indisi va ayirmasi deb ataladi.
1-teorema. Agar (6) qator yaqinlashuvchi, yig‘indisi S ga teng bo‘lsa, u holda (8) qator ham yaqinlashuvchi bo‘lib, yig‘indisi cS ga teng bo‘ladi.
Isbot. (8) qatorning n-xususiy yig‘indisini yozib olamiz: . Buni quyidagicha yozish mumkin: , bu yerda Sn (1) qatorning n-xususiy yig‘indisi. Teorema shartiga ko‘ra , u holda limit mavjud bo‘ladi: .
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorni o‘zgarmas songa ko‘paytirish natijasida yana yaqinlashuvchi qator hosil bo‘ladi va uning yig‘indisini topish uchun berilgan qator yig‘indisini shu songa ko‘paytirish kifoya.
2-teorema. Agar (6) va (7) qatorlar yaqinlashuvchi va yig‘indilari mos ravishda S va S’ bo‘lsa, u holda (9) va (10) qatorlar ham yaqinlashuvchi bo‘lib, ularning yig‘indilari mos ravishda S+S’ va S-S’ ga teng bo‘ladi.
Isbot. (9) qatorning yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun qatorning n-xususiy yig‘indisini yozib olamiz:
.
Bu tenglikni quyidagicha yozib olish ham mumkin:
,
bu yerda Sn va Sn’ mos ravishda (6) va (7) qatorning xususiy yig‘indilari. Teorema shartiga ko‘ra va . Shu sababli tenglikda limitga o‘tish mumkin:
Demak, (9) qator yaqinlashuvchi va yig‘indisi S+S’ ga teng ekan.
Yuqoridagi kabi isbotni (10) qator uchun ham bajarish mumkin.
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorlarni chekli yig‘indilar kabi qo‘shish va ayirish mumkin ekan. Bu natijani yaqinlashuvchi qatorlarning algebraik yig‘indilari uchun ham umumlashtirish mumkin.
3-teorema. Yaqinlashuvchi qatorda hadlarning joylashish tartibini o‘zgartirmasdan ixtiyoriy guruhlash natijasida hosil bo‘lgan yangi qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi avvalgi qator yig‘indisiga teng bo‘ladi.
|
