1-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring:
.
Yechish. Berilgan qatorning n-xususiy yig‘indisi
.
Bu yig‘indini soddalashtirish maqsadida qatorning n-hadini quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz. U holda
= bo‘ladi. Ravshanki, {Sn} ketma-ketlik limiti mavjud va ga teng. Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi bo‘lib, uni = , yoki = kabi yozish mumkin ekan.
2-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Bu qatorning n-xususiy yig’indisi
va
bo‘lganligi sababli, bo‘ladi. Demak, berilgan qator uzoqlashuvchi.
3-misol. Umumiy hadi bo‘lgan qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Bu qatorning n-xususiy yig‘indisi ga teng. Xususiy yig‘indilar ketma-ketligi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
1, 0, 1, 0, ...
Ma’lumki, bu ketma-ketlik chekli limitga ega emas. Demak, qator uzoqlashuvchi ekan.
Geometrik qator.
Qatorga eng sodda misol sifatida geometrik progressiya barcha hadlarining yig‘indisini olishimiz mumkin:
(4)
bunda a0. Bu qator geometrik qator deyiladi. Geometrik qator q ning qanday qiymatlarida yaqinlashuvchi bo‘lishini aniqlaymiz. Buning uchun uning n-xususiy yig‘indisini qaraymiz. Geometrik progressiya birinchi n ta hadi yig‘indisining formulasiga ko‘ra (q1)
o‘rinli. Agar q<1 bo‘lsa, u holda bo‘lib, mavjud va bo‘ladi. Demak, q<1 bo‘lganda (3) qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi bo‘ladi.
Agar |q|>1 bo‘lsa, u holda va = bo‘ladi. Demak, bu holda geometrik qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar q=-1 bo‘lsa, qatorning xususiy yig‘indisi bo‘ladi. Ravshanki (qarang, 3-misol) bu holda xususiy yig‘indilar ketma-ketligi uzoqlashuvchi, demak (3) qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar q=1 bo‘lsa, qatorning xususiy yig‘indisi Sn=a+a+…a=na va = bo‘ladi.
Shunday qilib, geometrik qator q<1 bo‘lganda yaqinlashuvchi, |q|1 bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi. Yaqinlashuvchi bo‘lgan holda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisining formulasi hosil bo‘ladi:
|
