Arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi. Vektor uzunligi
Skalyar ko`paytma xossalari
Berilgan x = (x1; x2; …; xn) va y = (y1; y2; …; yn) arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi deb, vektorlar mos koordinatalari ko`paytmalarining yig`indisiga teng songa aytiladi va (x, y) shaklda yoziladi. Ta`rifga binoan,
(x, y) = x1y1 + x2y2 + + xnyn yoki
Berilgan x = (x1; x2; ; xn) vektorning moduli yoki uzunligi (normasi) deb, quyidagi formula bo`yicha aniqlanadigan nomanfiy |x| songa aytiladi:
yoki .
Vektorlarning skalyar ko`paytmasi quyidagi xossalarga bo`ysinadi:
1) (x, x) ≥ 0 , 3) (x, y + z) = (x, y) + (x, z),
2) (αx, y) = α(x, y), 4) (x, y) = (y, x).
4. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi. Vektorlar orasidagi burchak. Uchburchak tengsizligi
Skalyar ko`paytma xossalaridan foydalanib, quyidagi Koshi–Bu-nyakovskiy tengsizligini isbotlash mumkin:
|(x, y)| ≤ |x| |y|.
Tengsizlik bo`yicha x va y vektorlar skalyar ko`paytmasi absolut qiymati vektorlar modullari ko`paytmasidan katta emas.
Koshi–Bunyakovskiy tengsizligi koordinatalarda
ko`rinishda yoziladi. Shunday bir yagona λ = cos φ [-1; 1] (φ[0;π]) son tanlash mumkinki, bunda
(x, y) = |x| |y| cosφ (φ [0; π]).
tenglik o`rinli bo`ladi. Oxirgi tenglikdan real fazoda bo`lgani kabi, abstrakt Rn fazoda ham uning x va y arifmetik vektorlari orasidagi burchak haqida gapirish mumkin va uning kattaligi kosinusini aniqlash mumkin:
Rn fazoda ham uchburchak yoki Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi
|x + y| ≤ |x| + |y|
tengsizlik o`rinli.
Vektorlar sistemasi.
|
