İ s b a t ı. Əksini fərz edək. Fərz edək ki, ardıcıllığının heç olmasa iki müxtəlif limiti var: a və b. Tutaq ki, a>b. Onda ε>0 ədədini elə seçək ki, O(a, ε) və O(b, ε) ətrafları kəsişməsinlər(şəkil 1).
Şəkil 1.
Məsələn götürmək olar. Elə nömrəsi var ki, bütün -lər üçün və elə nömrəsi var ki, bütün -lər üçün . ilə və nömrələrinin böyüyünü işarə edək. Onda istənilən üçün və , onda ola bilməz ki, göstərilən ətraflar kəsişməsinlər. Alınan ziddiyyət teoremin doğruluğunu göstərir.
Yığılan ardıcıllıqlar üçün aşağıdakı xassələri qeyd edək.
1. Əgər
, n=1,2,...,
və
ödənərsə, onda ardıcıllığı yığılır və .
İ s b a t ı. Tutaq ki, ε>0 qeyd edilmişdir. Elə və var ki,
üçün
,
üçün isə
.
ilə və nömrələrindən ən böyüyünü işarə edək. Onda bütün
-lər üçün
.
Buradan və (n=1,2,...) şərtindən alarıq ki, üçün,
bərabərsizliyi doğrudur. Bu da elə deməkdir.
2.1. Əgər və olarsa, onda elə var ki, üçün bərabərsizliyi doğrudur.
Uyğun olaraq aşağıdakı hökmü də verək:
2.2. Əgər və olarsa, onda elə var ki, üçün bərabərsizliyi doğrudur.
İ s b a t ı. qəbul edək. Limitin tərifinə görə, elə nömrəsi var ki, üçün
.
Birinci hökm isbat olundu. İkinci hökmün isbatı analojidir:
qəbul edək. Onda, elə nömrəsi var ki, üçün
.
|
