3.1. və , olarsa, onda olar.
Uyğun olaraq aşağıdakı hökmü də verək:
3.2. və , olarsa, onda olar.
İ s b a t ı. Əgər olsa idi, onda 2.1. xassəsinə görə, elə tapmaq olardı ki, olardı. Bu isə şərtə ziddir. İkinci hökmün isbatı analojidir.
Monoton ardıcıllıqların limiti
Ardıcıllığı, daha doğrusu, onun elementlərinin çoxluğunu və onun elementlərinin qiymətləri çoxluğunu fərqləndirmək lazımdır. Birinci çoxluq həmişə sonsuzdur, belə ki, ən azı nömrələri ilə fərqlənən elementlərin məcmusundan ibarətdir. İkinci çoxluq verilmiş ardıcıllığın elementlərinin qiymətini bildirən bütün rəqəmlərdən ibarətdir, o həm də sonlu ola bilər. Məsələn, bütün ardıcıllıqlar kimi ardıcıllığı da sonsuz elementdən ibarətdir: , ancaq onun elementlərinin qiymətlərindən düzəldilmiş çoxluq yalnız bir elementdən ibarətdir:1.
Tərif 5. Ardıcıllığın elementlərindən düzəldilmiş çoxluq yuxarıdan (aşağıdan) məhdud olarsa, ardıcıllıq yuxarıdan(aşağıdan) məhdud adlanır.
Bu tərifi ardıcıllığın elementləri anlayışından istifadə edərək aşağıdakı kimi hissələrə bölmək olar:
Tərif 5'. Əgər elə b ədədi varsa ki, istənilən n nömrəsi üçün (uyğun olaraq ) olsun, onda ardıcıllığı yuxarıdan(aşağıdan) məhdud adlanır.
Tərif 6. Yuxarıdan və aşağıdan məhdud olan ardıcıllıq sadəcə olaraq məhdud ardıcıllıq adlanır.
Tərif 7. Yuxarıdan və aşağıdan məhdud olmayan ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıq adlanır.
Aydındır ki, ardıcıllığı yalnız və yalnız o zaman məhdud olar ki, bərabərsizliyi hər hansı b və istənilən n natural ədədi üçün doğru olsun.
Məsələn, və ardıcıllıqları məhduddurlar. ardıcıllığı aşağıdan məhduddur, lakin yuxarıdan məhdud deyil. ardıcıllığı isə qeyri-məhduddur.
Teorem 2. Əgər ardıcıllığın limiti varsa, onda o, məhduddur.
İ s b a t ı. Tutaq ki, yığılan ardıcıllığı verilib və . Məsələn, qeyd edək. Limitin tərifinə görə, elə var ki, istənilən üçün doğrudur. Tutaq ki, d ilə ədədlərindən ən böyüyünü işarə etmişik. Onda bütün n-lər üçün ödənir, yəni doğrudur. Bu da elə verilmiş ardıcıllığın məhdud olduğunu təstiq edir.
Tərif 8. ardıcıllığının elementlərinin qiymətlərindən düzəldilmiş çoxluğun yuxarı(aşağı) sərhəddi verilmiş ardıcıllığın yuxarı(aşağı) sərhəddi adlanır və aşağıdakı kimi işarə olunur:
və ya (uyğun olaraq və ya ).
Əgər yuxarı(aşağı) sərhəd ədəddirsə, onda bu tərifi aşağıdakı kimi qeyd edək:
Əgər
1) istənilən n üçün (uyğun olaraq ) olsun
və
2) istənilən üçün, elə ədədi tapmaq olarsa ki, (uyğun olaraq ) doğru olsun, onda a ədədi ardıcıllığının yuxarı(aşağı) sərhəddi adlanır.
Analoji yolla ardıcıllığın yuxarı(aşağı) sərhəddinin sonsuzluq simvolları olan halları üçün də bu tərifi vermək olar: Əgər
Nümunə üçün göstərək ki, .
|
