|
Bolsano-Veyerştrass teoremi və Koşi kriteriyası
|
| bet | 6/10 | | Sana | 13.04.2023 | | Hajmi | 0.49 Mb. | | #50859 |
Bog'liq referat 165 11 sinif I mərhələ, CamScanner 04-12-2023 20.34Bolsano-Veyerştrass teoremi və Koşi kriteriyası
Tərif 10. Əgər istənilən k üçün elə natural ədədi varsa ki, olsun və bərabərsizliyi yalnız və yalnız olduqda ödənsin, onda ardıcıllığı ardıcıllığının alt ardıcıllığı adlanır. Burada ardıcıllığı ardıcıllığı və ya ilə təyin olunur.
Başqa sözlə, əgər hər hansı ardıcıllıq verilibsə və onun hər hansı alt ardıcıllığından yeni bir ardıcıllıq düzəldilmişsə, onda o, verilmiş ardıcıllığın alt ardıcıllığı adlanır, əgər onun elementlərinin nizamı verilmiş ardıcıllığın elementlərinin nizamı ilə eyni olsa.
Məsələn, ardıcıllığı natural ədədlər ardıcıllığının alt ardıcıllığıdır, lakin ardıcıllığı natural ədədlər ardıcıllığının alt ardıcıllığı deyil. Hər iki halda ardıcıllığın elementlərindən düzəldilmiş alt çoxluqlar natural ədədlər çoxluğunun alt çoxluğudur, lakin birinci halda ardıcıllığın hədləri natural ədədlərdə olduğu kimi nizamlanmış, ikinci halda isə, bu nizam pozulmuşdur.
Teorem 4 (Bolsano-Veyerştrass1). İstənilən məhdud ardıcıllıqdan yığılan alt ardıcıllıq ayırmaq olar.
İ s b a t ı. Tutaq ki, ardıcıllığı məhduddur, yəni, elə parçası var ki, istənilən n=1, 2, ..., üçün ödənir.
parçasını iki bərabər hissəyə bölək: və . Alınan parçalardan verilmiş ardıcıllığın sonsuz sayda elementini özündə saxlayanını ilə işarə edək. Ola bilsin ki, alınan parçalardan hər ikisi verilmiş ardıcıllığın sonsuz sayda elementini özündə saxlasın, onda həmin parçalardan istənilən birini ilə işarə edək. Fərz edək ki, parçasında yerləşir və verilmiş ardıcıllığın hər hansı elementidir.
Yenidən parçasını iki bərabər hissəyə bölək və yeni alınmış parçalardan heç olmasa biri verilmiş ardıcıllığın sonsuz sayda elementini özündə saxlayır, bu parçanı ilə işarə edək. ardıcıllığının sonsuz sayda elementi parçasında yerləşməsindən alarıq ki, elə var ki,
________________________
1. K. Veyerştrass (1815-1897) – alman riyaziyyatçısı, B. Bolsano (1781-1848) – çex riyaziyyatçısı.
və . Prosesi sonsuz davam davam etdirsək parçalarından ibarət ardıcıllıq və , nöqtələrindən ibarət ardıcıllıq alarıq. Buradan belə görünür ki, ardıcıllığı ardıcıllığının alt ardıcıllığıdır. Göstərək ki, bu ardıcıllıq yığılır.
ardıcıllığı bir-birinə daxil olan parçalar ardıcıllığı olduğundan, bu parçaların boyu sıfıra yaxınlaşır. olduqda
.
Onda Kantor teoreminə görə, bütün bu parçalara daxil olan yeganə ξ nöqtəsi var. Onda . olduğdundan və
yığılan ardıcıllığın xassəsinə (xassə 1) görə ardıcıllığı da yığılır və .
Teorem isbat olundu.
Tərif 11. Əgər istənilən ε>0 üçün elə nömrəsi varsa və istənilən n və m nömrələri üçün , olduqda
(11.1)
bərabərsizliyi doğrudursa, onda ardıcıllığı Koşi ardıcıllığı adlanır.
Bu tərifi aşağıdakı kimi də vermək olar:
İstənilən üçün elə nömrəsi varsa ki, istənilən və bütün müsbət tam p ədədləri üçün
(11.2)
ödənsin, onda ardıcıllığına Koşi şərtlərini ödəyən ardıcıllıq deyəcəyik.
(11.1) və (11.2) şərtlərinin doğruluğuna inanmaq üçün olduqda , olduqda isə götürmək kifayətdir.
Koşi şərtini ödəyən ardıcıllıq həm də fundamental ardıcıllıq adlanır.
|
| |
