• Takrorlanuvchi guruhlashlar. Ta’rif.
  • Polinomial teorema.
  • Takrorlanuvchi o‘rin almashtirishlar




    Download 358,28 Kb.
    bet7/7
    Sana18.11.2023
    Hajmi358,28 Kb.
    #101151
    1   2   3   4   5   6   7
    Bog'liq
    2-mustaqil ish(diskret tuzilmalar)

    Takrorlanuvchi o‘rin almashtirishlar.
    N ta elementdan iborat A to„plamni m ta qism to„plamlar yig„indisi ko„rinishida necha xil usulda yoyish mumkin degan savol qo„yamiz.

    AB1 B2 ...Bm


    Shunday bo„lishi kerakki N(B1)=k1 , N(B2)=k2 , ... , N(Bm)=km bo„lib, k1, k2 ,..., km berilgan sonlar uchun
    ki  0, k1 k2 ...km n
    shartlar bajariladi. B1,B2,...,Bm to„plamlar umumiy elementlarga ega emas.
    A to„plamning k1 elementli B1 to„plam ostisini Сnk1 usulda tanlash mumkin, n-k1 qolgan elementlardan k2 elementli B2 to„plam ostisini Сnk2k1 usulda tanlash mumkin va hokazo. Turli xil B1,B2,...,Bm to„plamlarni tanlash usullari ko„paytirish qoidasiga ko„ra
    Сnk1 *Сnk2k1 *Cnk3k1k2 *...*Cnkmk1k2...km1 
    n ! * (nk1) ! * (nk1 k2) ! *....* (nk1 k2 ....km1)

    k1 !*(nk1) ! k2 !*(nk1 k2) ! k3 ! *(nk1 -k2 -k3) ! km !*(nk1 -k2 -...-km)!
    n !

    k1 !* k2 !* ...* km!
    Demak quyidagi teorema isbotlandi.
    Teorema. Aytaylik k1, k2 ,..., km - butun manfiymas sonlar bo„lib, k1 k2 ...km n va A to„plam n ta elementdan iborat bo„lsin. A ni
    elementlari mos ravishda k1, k2 ,..., km ta bo„lgan B1,B2,...,Bm m ta to„plam ostilar yigindisi ko„rinishida ifodalash usullari soni
    n !
    Сn(k1,...,km) 
    k1 !* k2 !* ...* km!
    ta bo„ladi.
    Сn(k1,...,km) sonlar polinomial koeffitsiyentlar deyiladi.
    Misol 1. “Matematika” so„zidagi harflardan nechta so„z yasash mumkin?
    K1=2 (“m”- harfi), k2 =2 (“a” – harfi), k3 =2 (“t” – harfi), k4=1 (“e” – harfi), k5=1 (“i”harfi), k6=1 (“k”- harfi), n=10 (so„zdagi harflar soni)
    С10(2,3,2,1,1,1) 151200
    !
    Misol 2. “Dada” so„zidagi harflardan nechta so„z yasash mukin?
    С4(2,2)  6
    !
    Dada, daad, ddaa, adda, adad, aadd.

    Teorema. Elementlarining k1 tasi 1- tipda, k2 tasi 2-tipda, va hokazo km tasi m-tipda bo„lgan n elementli to„plamning barcha o‘rin almashtirishlar soni n !
    Сn(k1,...,km)  k1 !* k2 !* ...* km!
    ta bo„ladi.
    Shu o„rinda eslatib o„tamiz BMI, magistrlik dissertatsiyasi yoki ilmiy ishingizda ko„p miqdordagi takrorlanuvchi o„rin almashtirishlarni hisoblashga to„g„ri kelsa, unda Excel
    dasturlar paketidagi МУЛЬТИНОМ komandasidan foydalanish mumkin: Masalan
    С 10(1,2,4,3) 
    ekanligi ni tezlik bilan
    hisobla
    sh hech qanday
    qiyinchilik tug„dirmaydi.
    Takrorlanuvchi guruhlashlar.
    Ta’rif. Har bir elementi n ta xildan biri bolishi mumkin k ta elementli guruxlarga n ta elementdan k ta elementli takrorlanuvchi guruhlashlar deb aytiladi. Teorema. N ta elementdan k ta elementli takrorlanuvchi guruhlashlar soni
    fnk Cnnk11  Cnkk1
    ta bo„ladi.
    x1 x2 ...xn k ko„rinishdagi tenglama butun manfiymas yechimlari soni ham
    fnk ta bo„ladi.
    Maktab kursidan ma'lumki, (а +b)2= а2+2аb+b2,
    (а+b)33+3а2b+3аb2+b3.
    Bu formulalarni umumlashtirib (а+b)n qavsni qanday ochish mumkin degan savol tug‟ilishi tabiiy.
    Bu savolga quyidagi teorema javob beradi:
    Teorema (Binomial teorema). Quyidagi tenglik o'rinli
    (ab)n Cn0 *an *b0 Cn1 *an1 *b1 ...Cnk *ank *bk ...Cnn *a0 *bn
    n k *ank *bk
    Cn
    k0
    bu yerda Сnk sonlarga binomial koeffitsiyentlar, tenglamaga esa N’yuton binomi deyiladi.
    Formulaning bunday nomlanishi tarixiy haqiqat emas, chunki N‟yutondan oldin bu formulani O‟rta Osiyolik mutafakkir Umar Xayyom (1046-1131), G'iyosiddin Jamshid al-Koshiy o‟zlarining ishlarida qo‟llashgan.
    N‟yutonning xizmati shundaki, formulani butun bo'lmagan n uchun umumlashtirgan.
    Isboti. ( a+b ) yig‟indini ketma-ket n marta ko‟paytiramiz. U holda har bir hadi d1,d2,…dn ko‟rinishga ega bo‟lamiz, bunda di a yoki b ga teng, i=1,2…. Barcha
    qo‟shiluvchilarni В0,В1,…Вn bo‟lgan ( n+1) ta guruhlarga ajratamiz, Вk guruhda b
    ko‟paytuvchi k marta, a esa n-k marta uchraydi. Вk dagi ko‟paytuvchilar soni Скn ga
    tengligi tushunarli albatta. Har Вk dagi ko‟paytuvchilarning har biri аn-к bк ga teng, bunday hadlar soni Сnk ga teng, shu sababli
    n
    (ab)n  Cnk ank bk (1)
    k0 teorema isbotlandi. Binomial koeffitsientlarning quyidagi muhim xossasini eslatib o‟tamiz
    Сnk1 Сnk Сnk1 (2)
    Bu xossa 3-ma'ruzada isbotlangan.
    (2) tenglik binomial koeffitsientlarni uchburchakli jadval ko‟rinishida ketma-ket yozish mumkinligini ko‟rsatadi.
    1 n=1
    1 2 1 n=2
    1 3 3 1 n=3
    1 4 6 4 1 n=4
    1 5 10 10 5 1 n=5
    1 6 15 20 15 6 1 n=6 1 7 21 35 35 21 7 1 n=7
    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
    Bu jadval Paskal uchburchagi deb ataladi.
    Paskal uchburchagining n - satridagi sonlar (а+b)n yoyilmasining koeffisienti 1 sonlardan boshqa har bir koeffitsient oldingi satrda turgan 2 ta mos koeffisientlar yig‟indisiga teng.
    Polinomial teorema.a1 a2 ...akn ifoda, bo'lishi mumkin bo'lgan
    barcha quyidagi ko'rinishdagi qo'shiluvchilar yig'indisidan iborat bo'lib,
    n! r1 *a2r2 *...*akrk (2)
    *a1
    r1!*r2!*...*rk!
    Bu erda r1 r2 ...rk n, ya'ni
    a1 a2 ...ak n r10,...,rk r1!*r2!*...n! *rk!*a1r1 *a2r2 *...*akrk
    0
    r1r2...rk n (3)
    ga teng bo'ladi.
    k=r bo‟lganda (3) tenglik quyidagi ko‟rinishga keladi:
    (a1 a2 )n = n r1!(nn! r)! a1nr a2r
    r 0
    Demak, xususiy holda N‟yuton binomi formulasiga ega bo‟lamiz.
    Download 358,28 Kb.
    1   2   3   4   5   6   7




    Download 358,28 Kb.

    Bosh sahifa
    Aloqalar

        Bosh sahifa



    Takrorlanuvchi o‘rin almashtirishlar

    Download 358,28 Kb.