| 1.2 .Ehtimolning klassik, geometrik va statistik ta’riflari.
Hodisa deyilganda yuz berishi yoki yuz bermasligi mumkin bo`lgan har qanday voqeani tushunamiz. Bu jumla biz tushunadigan matematik ta`rif ma`nosida aniq ta`rif bo`la olmasligini anglash qiyin emas, biroq biz shu bilan cheklanishga majburmiz.
Bu tushunchani oydinlashtirish maqsadida ba`zi-bir misollar keltiramiz. Masalan, tanga tashlashda gerbil tomon tushishi, o`yin soqqasini tashlashda u yoki bu ochkop (masalan, olti ochko) tushishi, o`q uzilganda o`qning nishonga tegishi , oldindan belgilangan hajmda gaz molekulalarining bo`lishi va boshqa hodisalardir.
Turli hodisalarni harflari bilan belgilaymiz.
Albatta yuz beradigan hodisa deyiladi. Jumladan, odatdagi o`yin soqqasini tashlaganda olti ochkodan ko`p ochko tushmasligi, faqat oq sharlar solingan yashikdan olingan sharning oq bo`lishi va hokazo muqarrar hodisalardir.
Aksincha, mutlaqo yuz bermaydigan hodisa deyiladi. Qartalar dastasidan to`rtadan ortiq tuz olinishi , faqat oq va qora sharlar solingan yashikdan qizil shar olinishi mumkin bo`lmagan hodisalarga misol bo`ladi.
biror hodisa bo`lsin. hodisaga deb, hodisaning yuz bermasligidan iborat bo`lgan hodisani tushunamiz.Bu hodisani orqali belgilaymiz.Masalan , qartalar dastasidan olingan qartaning qizil xolli bo`lishi hodisa bo`lsa, hodisa olingan qartaning qora xolli bo`lishini bildiradi.
va hodisalardan birining yuz berishi ikkinchisining yuz berishi yo`qqa chiqsa , u holda va deyiladi.Masalan, o`yin soqqasini tashlashda mumkin bo`lgan istalgan ochkoning ( hodisa) boshqa sondagi ochkoning tushishi ( hodisa) bilan birgalida emas. Juft sondagi ochko tushishi toq sondagi ochko tushishi bilan birgalikda emas.Aksincha , juft sondagi ochko tushishi ( hodisa ) uch soniga karrali ochko tushishi ( hodisa) bilan birgalikda bo`ladi, chunki olti ochko tushishi ham hodisa , ham hodisa yuz berishini anglatadi, demak ,bu hodisalardan birining yuz berishi ikkinchisining yuz berishini yo`qqa chiqarmaydi. va hodisalar doimo birgalikda emasligini tushinish qiyin emas.
hodisalar to`plamini qaraylik. Agar har bir sinov natijasida bu hodisalardan hech bo`lmaganda bittasi yuz bersa, u holda bu hodisalarni deb atash qabul qilingan. Shuningdek , bu hodisalar tashkil qiladi deyiladi.Masalan , o`yin soqqasini tashlashda bir, ikki , uch , to`rt ,besh va olti ochkolarning tushishidan iborat bo`lgan hodisalar to`la gruppa tashkil qiladi.
Endi juda muhim tushuncha - tushunchasini o`rganishda kirishishimiz mumkin.
Chekli sondagi hodisalar sistemasini qaraymiz va unga quyidagi shartlarni qo`yamiz:
Bu hodisalar jufti – jufti bilan birgalikda emas, boshqacha qilib aytganda, istalgan ikkita va hodisa uchun ulardan birining yuz berishi ikkinchisining yuz berishini yo`qqa chiqaradi.
hodisalar yagona mumkin bo`lgan hodisalar , ya`ni ularning qaysidir biri albatta yuz berishi lozim.
hodisalar teng imkoniyatli. Bu shart hodisalardan birortasining boshqalaridan ko`proq yuz berishiga yordam beradigan hech qanday obyektiv sabablar yo`qligini aniqlatadi.
Aytaylik , hodisa berilgan bo`lib , u “elementar” hodisalardan ba`zilari yuz berganda yuz bersin , boshqalari yuz berganda esa yuz bermasin.Bunday holda biz “elementar” hodisalardan yuz berishi hodisaning yuz berishiga ham olib keladiganlarini hodisaga deb ataymiz.
Aytaylik qaraliyayotgan ta hodisadan tasi hodisaning yuz berishiga qulayik tug`dirsin. U holda hodisaning ehtimoli deb, hodisaning yuz berishiga qulaylik tug`diruvchi hodisalar sonining teng imkoniyatli barcha hodisalarning jami soniga nisbatini aytiladi. Agar odatda qabul qilingandek, hodisaning ehtimolini orqali belgilasak , u holda ta`rif bo`yicha quyidagini hosil qilamiz:
Keltirilgan ta`rifni misolda tushuntiramiz.O`yin soqqasini tashlashni qaraylik va bir, ikki, uch, to`rt, besh va olti ochko tushishidan iborat hodisalarni mos ravishda orqali belgilaylik. Bu hodisalar yuqorida qo`yilgan shartlarning hammasini qanoatlantirishi osongina tekshirib ko`rish mumkin. Bundan
Bo`lishi kelib chiqadi , chunki hodisalarning har biriga faqat uning o`zi qulaylik tug`diradi, ya`nib u yerda
Agar hodisa juft sondagi ochko tushishidan iborat bo`lsa , u holda unga mos ravishda ikki, to`rt va olti ochkolar tushishidan iborat bo`lgan va hodisalar qulaylik tug`diradi. Shu sababli hodisa uchun bo`lib,
Aytlaylik, uchu soniga karrali ochkolar tushishidan iborat bo`lsin. U holda hodisaga va “elementar” hodisalar qulaylik tug`diradi, demak, hodisa uchun bo`ladi. Shu sababli
Yuqorida keltirilgan ta`rif deb yuritiladi. Bu ta`rif juda tushunarli va soda bo`lsada, kamchiliklardan holi emas. Bu kamchiliklarga keyinroq batafsil to`xtalamiz.Hozir esa yuqorida keltirilgan ta`rifda asoslangan holda ehtimolning ayrim soda xossalarini keltiramiz.
Eng avvalo, istalgan hodisaga qulaylik tug`diruvchi hodisalar soni ushbu tengsizliklarni qanoatlantirishini payqash qiyin emas. Shuning uchun istalgan hodisaning ehtimoli .
shartlarni qanoatlantiradi.
So`ngra orqali muqarrar hodisani belgilaymiz.Ravshanki, unga hamma “elementar” hodisalar qulaylik tug`diradi , ya`ni hodisa uchun bolishi lozim. Shu sababli muqarrar hodisaning ehtimoli birga teng.:
Aksincha, agar mumkin bo`lmagan hodisa bo`lsa , bu holda bo`lishi bevosita ta`rifdan kelib chiqadi, demak , mumkin bo`lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng :
Ehtimol tushunchasini oydinlashtirish maqsadida bir necha misollar qaraylik.
|
