7. 7 Elektromágneses hullámok
Felírjuk a teljes Maxwell-egyenletrendszert töltés és áram nélküli szabad térben, j 0,  0.
Keresünk a triviálistól (E 0, B 0) különböző megoldást. Képezzük az első egyenlet rotációját:
innen divB 0 miatt
Hasonlóan levezethető, hogy
Ezek a szabad vagy homogén hullámegyenletek. Vektoregyenletek, E vagy B mindhárom derékszögű komponensére ilyen egyenlet érvényes. Speciális megoldásokat keresünk.
E(r, megoldása az egyenletnek, ha  állandó, n tetszőleges egységvektor, argumentumának tetszőleges függvénye. A bizonyítás az egyenletbe való behelyettesítéssel történhet. Az ilyen megoldást síkhullám megoldásnak nevezzük.
Miért síkhullám? Tegyük fel a következő kérdést: hol vannak a térben azok a pontok, amelyekben egy adott  időpontban E ugyanazt az értéket veszi fel? Biztosan ugyanaz lesz E értéke azokban az r helyzetvektorú pontokban, amelyekre teljesül, hogy   állandó. Minthogy állandó, ehhez nr állandó kell teljesüljön, ami egy az n vektorra merőleges sík egyenlete. Természetesen előfordulhat, hogy különböző n-re merőleges síkokban E ugyanazt az értéket veszi fel.
Tegyünk fel egy újabb kérdést: hol vannak a térben azok a pontok, amelyekben  időpontban E ugyanazt az értéket veszi fel, mint amit felvett a időpontban az előző síkon. Ez azokra az r r helyzetvektorú pontokra teljesül, amelyekre
Innen  , ez pedig azt jelenti, hogy a két sík távolsága  . Most tudtuk meg, hogy a Maxwell-egyenletekben szereplő állandó az elektromágneses hullámok terjedési sebessége. Az argumentumában álló n vektor a síkhullám terjedési iránya.
Hasonlóképpen belátható, hogy E(r,   is megoldása a szabad hullámegyenletnek, ez a gömbhullám megoldás. Az indoklás az előzőekhez hasonlóan történhet. A előjel egy pontból kifutó, a előjel befutó hullámot jelent.
Mivel a hullámegyenlethez a Maxwell-egyenlet differenciálásával, nem azonos átalakítással jutottunk, meg kell győződnünk arról, hogy a megoldás a Maxwell-egyenleteket is kielégíti. Vizsgáljunk egy  , elektromágneses síkhullámot. A divE 0 és divB 0 egyenletekbe való behelyettesítés arra vezet, hogy En 0 és Bn 0 kell teljesüljön, azaz E és B merőleges kell legyen az n terjedési irányra, ezek transzverzális hullámok. Bármelyik rotációs egyenletbe való behelyettesítés azt adja, hogy B  , azaz E és B egymásra is merőleges kell legyen.
Az ilyen transzverzális hullámban az energiasűrűség,
|
