A két közeget elválasztó felületen határfeltételek érvényesek. Feltéve, hogy nincsenek valódi felületi töltések és áramok, 0-nál
Esetünkben az első egyenlet  alakú, ehhez jön még a további hasonló három egyenlet. Ezek a határfeltételek a felület (végtelen) sok pontjában, (végtelen) sok időpontban teljesülnek, ami csak úgy lehetséges, hogy E,  ,  térbeli és időbeli változása 0-nál azonos, a fázistényezők megegyeznek:
Ezekből az egyenlőségekből az r vektor koordinátáinak megfelelő választásával kaphatók meg a törés és visszaverődés kinematikai törvényei:
1.  ( választással), a körfrekvenciák megegyeznek. A beeső és a visszavert sugár ugyanabban a közegben terjed, ezért  .
2. A k,  ,  hullámszámvektorok egy síkban vannak. ( választás arra vezet, hogy  .)
3.  . Mivel , ezért  , a beesési szög egyenlő a visszaverődési szöggel. A második egyenlőségből
bevezettük az  ,  törésmutatókat és a 2-es közegnek az 1-es közegre vonatkoztatott  relatív törésmutatóját. Ez a Snellius-Descartes-törvény. Érdemes megjegyezni, hogy a kinematikai törvények levezetéséhez nem kellett felhasználni a határfeltételek explicit alakját csak azt, hogy vannak határfeltételek.
A 2-es közegben a térerősség
A Snellius-Descartes-törvényből
( a képzetes egység). Ha  , azaz a fénysugár optikailag sűrűbb közegből optikailag ritkább közegbe megy át, akkor  esetén
Ez a teljes visszaverődés, jellemzői az -tengely mentén (a határfelülettel párhuzamos irányban) terjedő síkhullám és a -tengely menti (a határfelületre merőleges irányú) exponenciális csökkenés.
A törés és visszaverődés dinamikai törvényei, amelyek a felületen átjutó, ill. visszavert energiamennyiség számítására nyújtanak lehetőséget, a határfeltételek konkrét alakjából következnek. Az exponenciálisokkal a fázisok egyenlősége következtében egyszerűsíteni lehet. Feltételezve, hogy mindkét közegre teljesülnek a
 anyagi egyenletek, mind a négy határfeltétel kifejezhető az elektromos térerősségekkel, n a határfelület normális egységvektora:
Tetszőleges polarizációjú síkhullám előállítható két, egymásra merőleges lineáris polarizációjú síkhullám megfelelő lineáris kombinációjaként. Legyen most az egyik olyan, amelynek polarizációvektora merőleges a k és az n vektorok által kifeszített beesési síkra, a másik olyan, amelynek polarizációvektora párhuzamos ezzel a síkkal. Tekintsük először az első esetet, ekkor az első és a negyedik határfeltétel szerint
A harmadik határfeltétel automatikusan teljesül, a második a Snellius-Descartes-törvény felhasználásával beláthatóan ugyanazt adja, mint az első. A két egyenlet megoldása a következő:
A második esetben hasonló gondolatmenettel a következő végeredményre jutunk:
Az első egyenlőségből következik, hogy a beesési síkkal párhuzamos polarizáció esetén a beesési szögnek van egy olyan értéke, amelynél nincs visszavert hullám, ez a Brewster-szög. Speciálisan,  esetén tg . A Snellius-Descartes-törvényt felhasználva megmutatható, hogy ekkor  .
Speciális esetben, merőleges beesésnél ( ), olyan közegeknél, amelyekre 
Az időre (egy periódusra) átlagolt áramsűrűségvektorok nagysága:
az szorzótényező az időátlagolás következménye. Definiáljuk az visszaverődési és a visszaverődési együtthatót:
ezek az ún. Fresnel-formulák.
Mi történik akkor, ha két síkhullám találkozik? Létrejöhet az interferencia. Az  ,  szuperpozíciók megoldásai a Maxwell-egyenleteknek, de az intenzitásmérő adatok, az energiasűrűség és az S energiaáramsűrűség nem adódnak össze. Ezeket összefoglalóan -vel jelölve:  , ahol  ez utóbbi az interferencia-tag (felhasználtuk, hogy síkhullámban B kifejezhető E-vel). Pillanatnyi interferencia általában van, de nem észleljük, mert nagyon gyorsan változik. Észlelhető tartós interferencia akkor jön létre, ha , az interferencia-tag időátlaga különbözik nullától. Ennek három feltétele van:
1. A síkhullámok frekvenciája meg kell egyezzen:  . A periodikus síkhullámok időfüggése:  cos  ,  cos  . A  szorzat gyorsan változik, nagyon sűrűn 0, időátlaga annál kisebb, minél nagyobb időtartamra átlagolunk. Ha viszont , akkor  cos , aminek időátlaga .
2. A második feltétel geometriai jellegű. Az interferencia tag,  , így ha a két térerősség minden pillanatban merőleges egymásra, akkor sem tartós, sem pillanatnyi interferencia nincs. Pl. egy irányban terjedő, egymásra merőlegesen lineárisan polarizált hullámok nem interferálnak.
3. A harmadik az ún. koherencia-feltétel. A komplex írásmódban felírt térerősség tartalmaz egy exp( tényezőt. A fényforrások általában véges hullámvonulatokat bocsájtanak ki, ezek  fázisállandója rendszertelenül ingadozik. Ha a találkozó síkhullámok fázisállandóinak különbsége nem állandó, akkor az időátlagolás 0-t eredményez, nincs tartós interferencia. Ha egy fényforrás által kibocsájtott hullámot szétválasztunk, majd újra egyesítünk, akkor ez a probléma nem lép fel. Azt mondjuk, hogy az ilyen hullámok koherensek. Vannak olyan fényforrások (lézer, mézer), amelyek szintén koherens hullámokat bocsájtanak ki, így létrejöhet tartós interferencia.
|
