8. 8 Retardált potenciálok, dipólsugárzás, fényszórás
Levezetjük a Maxwell-egyenletek egy fizikailag nagyon fontos megoldását. A teljes egyenletrendszer:
Az elektrosztatikában már bevezettük a skalárpotenciált, a stacionárius áram tárgyalásánál a vektorpotenciált, most ugyanezek legáltalánosabb alakját adjuk meg. Mivel  , ezért bevezethető a vektorpotenciál, B rotA . Beírva ezt a harmadik egyenletbe az adódik, hogy
ezért az  vektor írható fel gradiensként,
 és  ugyanazt az E-t és B-t határozza meg, mint A és , most is igaz, hogy a potenciálok csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározottak, kiróható egy mellékfeltétel, ami egyszerűsítheti az egyenleteket. Azt írjuk elő, hogy  teljesüljön, ekkor Lorentz-mértékben dolgozunk. A potenciálokra így a következő egyenleteket kapjuk:
ezek az inhomogén hullámegyenletek. Megmutatható, hogy az alábbi megoldások az egyenletek mellett a Lorentz-feltételt is kielégítik:
Ezek a retardált potenciálok, a retardálás, időbeli késés az idő szerinti második derivált hatása. Fizikai jelentésük nagyon természetesnek látszik. A hatás nem pillanatszerű, sebességgel terjed, az  idővel korábbi töltés- ill. árameloszlás határozza meg a skalár- ill. vektorpotenciált. Éppen ennyi időre van szükség ahhoz, hogy hatás elérjen az helyzetvektorú pontból az r helyzetvektorú pontba. Megjegyezzük, hogy az inhomogén hullámegyenleteknek megoldásai az ún. avanzsált potenciálok is, amelyekben  . Ez azt jelentené, hogy az idővel későbbi töltés- ill. árameloszlás határozná meg a potenciálokat, ami ellentmond az ok-okozat összefüggésnek, így semmiféle fizikai jelentése nem lehet.
A megoldás alábbi szemléletes magyarázata Feynmantól származik. Ha csak a kezdőpontban van egy pontszerű töltés, akkor megoldása az egyenletnek a
 kifutó gömbhullám, amit a töltés hoz létre. Kis esetén  , mert elég nagy mellett kicsi. Ez a kezdőpontban lévő változó nagyságú töltés Coulomb-potenciálja, tehát  , ami megoldása a
egyenletnek,  . A hullámegyenlet megoldása ezért
Alkalmazásként meghatározzuk egy nagyon kicsi (pontszerű) rezgő elektromos dipólus antenna elektromágneses terét. Az helyzetvektorú pontban lévő  dipólmomentumú antenna sűrűségvektora, a polarizáció vektor  ,  . A pontszerű töltés töltéssűrűségéhez hasonlóan most is a  általánosított függvény segítségével fejezzük ki a dipólmomentumsűrűséget,
A dielektrikumok és a stacionárius áram tárgyalásánál kiderült, hogy a P dipóluseloszlás skalárpotenciálja  töltéssűrűségével, vektorpotenciálja  áramsűrűségével ekvivalens. Így a
|
