9. 9 Geometriai optika
A geometriai optika a fényterjedést sugarakkal írja le. Vizsgáljuk az elektromágneses hullám terjedését izotrop inhomogén szigetelő közegben. A hullámegyenlet  0 alakú, itt (r) a helyfüggő terjedési sebesség,  az E elektromos térerősség vagy a B mágnese indukció valamelyik derékszögű komponense. Az egyenlet időben periodikus megoldása  ,  a
egyenletnek tesz eleget. Keressük ennek megoldását  (r)) alakban. Az (r) neve eikonál (fényút), az  állandó felület normálvektora jelöli ki a fényterjedés irányát az adott pontban. Síkhullámban állandó terjedési sebesség esetén nr. Ha (r) lassan változik, és közel lineáris r-ben, akkor  közel síkhullám. A törésmutató definíciója  , ahol a vákuumbeli hullámszám.
A  0 ( határesetben az egyenlet a
közelítő alakban írható, ez az eikonál-egyenlet. 0 (elterjedt) pongyola megfogalmazás, adott hullámhosszú fény terjedése során természetesen állandó, azt kell megmondanunk, hogy mihez képest kicsi. A közelítés során, amelyet itt nem részletezünk, bizonyos tagokat elhanyagolunk, az elhanyagolás feltételei a következőek:
1.   , ahol  a közegbeli hullámhossz.
2. Az állandó egyenlet által meghatározott hullámfelület görbületi sugara  .
3. A hullámfront lineáris méretei (pl. gömbhullám esetén a gömb sugara) .
Az első feltétel nem érvényes pl. fény és árnyék határán (itt az intenzitás gyorsan változhat, grad nagy lehet), a második és harmadik feltétel nem érvényes fényforrások, fókuszok közelében.
Izotrop közegben a k hullámszámvektor a fénysugarak irányába mutat, merőleges az állandó felületekre. Ekkor az eikonál-egyenletből gyökvonással azt kapjuk, hogy  .
Tetszőleges zárt görbére igaz, hogy  .
Alkalmazzuk ezt egy olyan zárt görbére, amelynek AB szakasza a fénysugár egy darabja, B-ből A-ba pedig valamilyen tetszőleges  görbén jutunk vissza.
A skalárszorzat tulajdonsága miatt igaz, hogy  , ezért
az utolsó két integrálban a  integrálási út a megfordítottja. Az első és utolsó integrál összehasonlítása szolgáltatja a Fermat-elvet: az  optikai úthossznak nevezett integrál a fénysugár mentén minimális. Felhasználva, hogy  , arra jutunk, hogy
|
