Hukum Gauss
Karl Friedrich Gauss (1777-1855) seorang fisika dan matematika Jerman yang banyak sumbangannya kepada ilmu fisika teori dan fisika eksperimental. Rumusnya yang dikenal sebagai hukum Gauss merupakan ungkapan tentang suatu sifat penting medan elektrostatik. Hukum ini menghubungkan muatan listrik dan medan listrik, dan Mari kita tinjau medan sebuah muatan titik positif q, seperti dalam gambar. Muatan ini dikelilingi sebuah permukaan tertutup sembarang bentuk. (permukaan itu hanya dikhayalkan saja, jadi bukan permukaan yang benar-benar ada). Intensitas listrik E, disetiap titik pada permukaan, mengarah radial ke luar dari muatan q dan besarnya E = kq/r².
Disekujur sembarang luas daerah permukaan yang cukup kecil dA intensitas dapat dianggap sama dalam hal besar dan arahnya. Komponen E yang tegak lurus terhadap permukaan  sama dengan E cos θ dimana θ adalah sudut antara E dan garis normal keluar terhadap permukaan dan hasil kali dengan luas dA adalah
Tetapi kita lihat dari gambar (b), yang tak lain adalah perbesaran sebagian gambar (a) bahwa hasilkali dA cos θ sama dengan proyeksi tegak lurus luas dA pada r dan bahwa dA cos θ/ seharga dengan sudut padat *d yang terbentuk antara muatan dan luas dA. Karena itu
Sekarang kedua ruas persamaan kita integrasi untuk seluruh permukaan tertutup tadi, seperti ditunjukkan oleh symbol 
Tidak perduli bentuk atau ukuran permukaan yang terbatas itu  adalah total sudut padat disekelilingi muatan q dan sama dengan 4 sterad. Karena itu
Ruas kiri persamaan ini, yang terbentuk dari perkalian komponen normal E pada permukaan dengan sebuah unsure luas permukaan lalu menjumlahkan hasil-hasil perkalian ini untuk seluruh permukaan itu disebut integral permukaan E untuk seluruh permukaan.
Jika sebuah muatan titik terletak diluar suatu permukaan berbatas , medan muatan itu mengarah ke luar di beberapa titik permukaan tersebut dan kedalam dibeberapa titik lainnya. Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa sumbangan positif dan negative pada integral permukaan tepat saling “meniadakan” dan integral permukaan itu nol. Tetapi muatan didalam permukaan berbatas itu juga nol, sehingga persamaan tetap berlaku tidak perduli apakah muatan di dalam permukaan itu positif, negative, atau nol.
Hasil penjumlahan integral-integralnya menjadi integral permukaan medan resultan dan muatan q menjadi  adalah penjumlahan aljabar semua muatan didalam permukaan berbatas itu. Maka secara umum
Persamaan ini mengungkapkan makna hukum Gauss : integral permukaan komponen normal E atas sembarang permukaan berbatas dalam medan elektrostatik seharga dengan 4 kali muatan netto di dalam permukaan itu. Perkalian  dapat ditulis sebagai perkalian scalar atau perkalian noktah vector E dan vector dA :
Kedua, supaya tidak terpaksa menuliskan faktor 4 dalam persamaan kita definisikanlah sebuah konstanta baru  menurut persamaan
Dalam banyak buku pelajaran, semua persamaa elektrostatik ditulis dengan menyebutkan . Sebagai contoh, karena k = 1/4 , hukum Coulomb menjadi
Maka hukum Gauss lalu dapat kita tulis lebih sederhana, seperti berikut:
Di sini dapat ditampilkan lagi sebuah faktor lain. Integral permukaan E atas seluruh suatu permukaan disebut fluksi E itu ke seluruh permukaan itu dan dilambangkan dengan  . Artinya
Istilah fluksi yang berarti pengaliran dipinjam dari ilmu hidrodinamika, dimana integral yang sama menyatakan aliran atau arus netto zat alir yang menyebar ke seluruh suatu permukaan. Karena itu hukum Gauss dapat berbunyi : perkalian dengan fluksi ke luar E ke seluruh suatu permukaan berbatas sama dengan muatan netto didalam permukaan itu.
Fluksi E yang memencar ke seluruh sebuah permukaan dan juga hukum Gauss dapat dilukiskan secara grafis dengan garis gaya. Jika banyak garis ini persatuan luas yang tegaklurus pada arah garis itu sebanding dengan E, maka integral permukaan E atas sebuah permukaan tertutup sebanding dengan jumlah total garis yang melintasi permukaan itu ke arah luarnya dan muatan netto di dalam permukaan itu sebanding dengan jumlah ini.
Dalam mengevaluasi integral permukaan E atas sebuah permukaan berbatas, permukaan itu sering harus dibagi-bagi dalam khayalan menjadi beberapa “petak”. Integral atas seluruh permukaan sama dengan penjumlahan integral atas tiap petak itu. Dalam beberapa ikhwal khusus, untuk mengevaluasi integral permukaan, hitung integral tidak perlu.
-
Jika E tegak lurus di semua titik pada sebuah permukaan yang luasnya A dan besarnya sama du semua titik permukaan itu, maka  , dan 
-
Jika E parallel dengan sebuah permukaan di semua titik, maka  dan integral permukaan nol
-
Jika E = 0 di semua titik sebuah permukaan, integral permukaan nol.
-
Penerapan Hukum Gauss
-
Lokasi muatan lebih pada sebuah konduktor.
Proses berpindahnya muatan dari sebuah konduktor ke konduktor lain dengan cara sentuhan-dalam diselidiki oleh Faraday. Sebagai konduktor berongga di pakainya ember dari logam tempat ia biasa menyimpan es dalam laboratoriumnya, dari eksperimen yang dilakukannya itu masih disebut “eksperimen ember es Faraday”. Demikianlah maka bila sebuah ember dari logam tak bermuatan diletakkan di atas sebuah elektroskop daun, lalu sebuah bola bermuatan yang mempunyai tangkai dari bahan tak menghantar dimasukkan ke dalam ember itu tetapi tidak menyentuhnya, maka daun elektroskop itu memencar, yang menandakan bahwa daun – daun itu bermuatan, bola bermuatan itu dapat digerak – gerakkan di dalam ember tadi tanpa mempengaruhi jarak antar daun elektroskop. Jika bola itu dikeluarkan dari ember, daun – daun itu merapat. Jika bola dimasukkan kembali disentuhkan pada permukaan dalam, takkan terjadi perubahan defleksi pada daun elektroskop, tetapi daun – daun itu tetap dalam keadaan terdefleksi bila bola tersebut dikeluarkan dan, bila dites, ternyata kehilangan semua muatan awalnya.
-
Hukum Coulomb.
Kita telah mempelajari hukum Coulomb adalah persamaan dasar elektrostatika dan telah menderivasi hukum gauss daripadanya. Prosedur alternatifnya adalah memandang hukum Gauss sebagai sebuah persamaan pokok berdasarkan eksperimen. Lalu hukum Coulomb dapat diderivasi dari hukum Gauss, dengan memakai hukm ini untuk mendapatkan persamaan intensitas listrik E yang ditimbulkan muatan titik. Tetapi perlu diingat, bahwa bentuk umum hukum Gauss tidak memberikan persamaan untuk E itu sendiri tetapi hanya untuk integral permukaannya. Dalam menerapkan hukum Gauss untuk menghitung E, intergral permukaan harus dapat diganti dengan sebuah perkalian dimana E adalah salah satu faktornya. Maka persamaan aljabar yang diperoleh dapat diselesaikan untuk E. Tetapi prosedur ini hanya mungkin terjadi dalam tidak banyak kejadian, yaitu, dimana persoalan geometri adalah sedemikian rupa sehingga pertimbangan simetri memungkinkan kita mengganti integral itu dengan perkalian.
Dan berdasarkan hukum Gauss,
Gaya terhadap sebuah muatan q’ pada jarak r dari muatan q karena itu ialah
Yang tidak lain adalah hukum Coulomb.
-
Medan sebuah konduktor bola yang bermuatan.
Setiap muatan lebih pada sebuah konduktor bola yang terisolasi, berdasarkan simetri, terbagi merata sdi seluruh permukaan luarnya. Intensitas listrik disembarang titik dapat dihitung dengan persamaan (25-4), tetapi jauh lebih mudah dengan memakai hukum Gauss. Jelas kiranya bahwa di titik-titik permukaan luar, medan mempunyai simetri muatan titik, sehingga jika kita bentuk sebuah permukaan Gauss yang radiusnya r, dalam mana r lebih besar dari radius R bola, dan jika q adalah muatan total pada bola, maka
Medan di luar bola karena itu adalah sama seperti sekiranya seluruh muatan terpusat di sebuah titik ditengah-tengahnya. Tepat di luar permukaan bola dimana r = R
dan di dalam bola, jika bola itu pejal, E = 0
Ada cara mudah menunjukkan bahwa E = 0 di semua titik di dalam sebuah konduktor bola rongga yang bermuatan. Seperti diperlihatkan dalam gambar 25-16, kita lukiskan dua kerucut sempit yang puncaknya bertemu di sebuah titik sekehendak P. Masing-masing kerucut mempunyai sudut kecil ω yang sama besar dan memotong luas A1 dan luas A2 pada permukaan bola. Proyeksi daerah ini, tegaklurus pada sumbu kerucut, berturut-turut adalah A1 cos �� dan A2 cos ��, dank arena itu
Umpamakan σ adalah muatan per satuan luas (densitas permukaan muatan) pada permukaan bola itu, sehingga muatan q1 dan q2 pada A1 dan A2 adalah σA1 dan σA2, dan medan yang ditimbulkan di P ialah
-
Medan muatan garis dan medan konduktor silindris bermuatan.
Untuk menggambarkan kemudahan yang diperoleh bila kita menerapkan hukum gauss dan soal-soal dimana pertimbangan simetri memungkinkan integral permukaan E diganti dengan sebuah perkalian, hukum ini kita pakai untuk mencari intensitas listrik yang ditimbulkan oleh suatu kawat halus dan panjang yang bermuatan, yaitu sebuah soal yang sudah dipecahkan dalam bagian 25-2 dengan mengintegrasi persamaan vektor.
Jika kawat tersebut sangat panjang, dan kita berada tidak terlalu dekat dengan kedua ujungnya, maka bedasarkan simetri, garis-garis gaya di luar kawat itu radial dan terletak pada bidang yang tegaklurus pada kawat. Juga, besar intensitas adalah sama di semua titik pada jarak radial yang sama dari kawat. Ini menunjukkan bahwa sebagai permukaan Gauss kita harus memakai sebuah silinder dengan radius sembarang r dan panjang sembarang ℓ, yang ujung-ujungnya tegaklurus pada kawat, seperti gambar 25-17. Jika muatan per satuan panjang pada kawat, maka muatan di dalam permukaan Gauss adalah λℓ. Karena E tegaklurus pada kawat, komponen E yang tegaklurus pada muka ujung silinder sama dengan nol. Di semua titik pada permukaan lengkung, En = E = konstan, dan karena luas permukaan ini 2πrℓ, maka kita peroleh
-
Medan sebuah lempengan di bidang tak berhingga yang bermuatan.
Untuk memecahkan soal ini, lukislah permukaan gauss seperti ditunjukkan dengan garis putus-putus dalam gambar 25-18, berupa sebuah silinder yang luas ujungnya A dan bidangnya tegaklurus pada lempengan muatan itu. Berdasarkan simetri, berhubungan lempengan tak berhingga, intensitas listrik E sama pada kedua sisi permukaan , merata, dan mengarah tegaklurus menjauhi lempengan muatan. Tak ada garis gaya memotong dinding sisi silinder. Artinya, komponen tegaklurus E pada dinding ini sama dengan nol. Di kedua ujung silinder, komponen normal E sama dengan E. Integral permukaan E, yang dihitung untuk seluruh permukaan silinder, karena itu berkurang menjadi 2EA. Jika σ adalah muatan per satuan luas di dalam bidang lempengan itu, muatan netto pada permukaan gauss ialah σ A. Karena itu
Perlu dicatat bahwa besar medan listrik tidak bergantung kepada jarak dari lempengan dan tidak berkurang secara terbalik dengan kuadrat jarak. Dalam hal garis gaya, garis ini dimana-mana tetap lurus, parallel, dan berjarak seragam. Sebabnya ialah karena lempengan itu dianggap luas tak berhingga.
-
Medan sebuah pelat konduktor tak berhingga yang bermuatan.
Apabila sebuah pelat logam diberi suatu muatan netto, muatan ini akan menyebar sendiri ke seluruh permukaan luar pelat itu, dan jika tebal pelat itu di mana-mana sama dan tak berhingga luasnya (atau bila kita berada tak terlalu dekat pinggir sebuah pelat yang berhingga luasnya), muatan akan merata itu per satuan luas, dan sama pada kedua permukaannya. Jadi, medan pelat bermuatan seperti itu timbul dari superposisi medan dari dua buah lempengan muatan, masing-masing satu pada tiap permukaan pelat. Berdasarkan simetri, medan itu tegaklurus pada pelat, dan arahnya menjauhi pelat jika pelat itu positif muatannya, dan merata. Besar intensitas listrik di tiap titik dapat dicari berdasarkan hokum gauss atau dengan menggunakan hasil-hasil yang telah diderivasi untuk lempengan muatan.
Gambar 25-19 menunjukan sebagian dari sebuah pelat konduktor yang luas dan bermuatan. Misalkan σ muatan per satuan luas dalam lempengan muatan pada kedua belah permukaannya. Di titik a, di luar pelat sebelah kiri, komponen intensitas listrik E1, yang ditimbulkan lempengan muatan pada muka kiri pelat itu, mengarah ke kiri dan besarnya σ/ . Komponen E2 yang ditimbulkan lempengan muatan pada muka kanan pelat itu, juga mengarah ke kiri dan besarnya σ/. Besar intensitas resultan E karena itu ialah
Di titik b, di dalam pelat, arah kedua komponen intensitas listrik berlawanan dan resultannya sama dengan nol, sebagaimana harusnya keadaan dalam tiap konduktor yang muatannya tidak bergerak. Di titik c, kedua kompenen itu juga dipertambahkan dan besar resultannya ialah σ/ , mengarah ke kanan.
Untuk menderivasi hasil-hasil ini berdasarkan hukum gauss, lihatlah silinder yang dilukis dengan garis putus-putus. Luas permukaan ujungnya A, salah satu permukaan itu terletak di dalam pelat yang satu lagi, di luarnya. Medan di dalam konduktor sama dengan nol. Berdasarkan simetri, medan di luar tegaklurus pada pelat, sehingga komponen normal E sama dengan nol pada dinding silinder dan sama dengan E di bagian luar permukaan ujung. Jadi, berdasarkan hukum gauss,
-
Medan antara dua pelat yang muatannya berlawanan.
Apabila dua pelat konduktor paralel yang luas dan jarak yang memisahkannya sama besar, seperti ditunjukkan dalam gambar 25-20, diberi muatan yang sama besarnya dan berlawanan tandanya, medan diantara dan di sekitarnya mendekati seperti yang diperlihatkan dalam gambar 25-20(a). Sebagian besar muatan itu mengumpul pada permukaan-permukaan pelat yang saling berhadapan, dan medan di luar pemisah pada hakekatnya merata, sedangkan pada permukaan luar kedua pelat itu hanya ada sedikit muatan, dan penyebaran medan pada tepi pelat agak “merumbai”.
Apabila pelat yang dua itu dibuat lebih luas dan jarak yang memisahkannya diperkecil, perumbaian tersebut relatif akan berkurang. Tata letak dua pelat bermuatan yang berlawanan tanda dan dipisahkan oleh suatu jarak yang pendek jika dibandingkan dengan ukuran liniernya, kita temui pada banyak alat listrik, terutama kapasitor. Dalam banyak kejadian, perumbaian itu dapat diabaikan samasekali, dan jika tidak, biasanya diabaikan saja untuk penyederhanaan perhitungan. Karena itu kita anggap saja bahwa medan antara dua pelat bermuatan dan berlawanan tanda itu merata, seperti gambar 25-20(b), dan bahwa muatan itu tersebar secara merata pada permukaan yang berhadapan.
Intensitas listrik disembarang titik dapat tidak dianggap, atau sebaga resultan intensitas listrik yang ditimbulkan dua lempengan muatan yang berlawanan tanda, atau dapat dicari berdasarkan hukum Gauss. Jadi, di titik a dan titi c dalam gambar 25-20(b). Komponen E1 dan komponen E2 masing-masing besarnya σ/ tetapi arahnya berlawanan, sehingga resultannya sama dengan nol. Disetiap titik b antara pelat-pelat itu, kedua komponen tadi sama arahnya dan resultannya σ/.
-
Medan tepat di luar sembarang konduktor bermuatan.
Gambar 25-21 memperlihatkan bagian permukaan sebuah konduktor bermuatan yang bentuknya tak beraturan. Umumnya, kerapatan muatan pada permukaan itu berbeda dari titik ke titik. Misalkan σ menunjukan kerapatan pada permukaan seluas A kecil.
Misalkan sebuah permukaan gauss berbentuk seperti silinder kecil, yang permukaan salah satu ujungnya (seluas A) terletak di dalam konduktor tersebut, sedangkan yang satu lagi tepat diluarnya. Muatan di dalam permukaan gauss itu σA. Intensitas listrik sama dengan nol disemua titik di dalam konduktor. Di luar konduktor, komponen normal E sama dengan nol pada dinding sisi silinder (karena E tegaklurus pada knonduktor), sedang pada muka ujungnya, komponen normal itu sama dengan E. Karena itu, berdasarkan hukum Gauss,
Hasil rumusan ini sama dengan hasil rumusan yang telah ditunjukkan untuk permukaan sferis, silinder dan datar. Tepat di luar permukaan sebuah bola yang radiusnya R, umpamanya, intensitas listrik adalah
Tetapi kerapatan muatan pada permukaan sebuah bola adalah q/4πR2, sehingga E = σ/.
Medan di luar sebuah pelat konduktor tak berhingga yang bermuatan juga sudah dibuktikan sama dengan σ/. Dalam hal ini, medannya sama pada jarak berapa saja dari pelat, tetapi pada umumnya berkurang menurut pertambahannya jarak dari permukaan.
Sebuah medan listrik yang tak diketahui dapat “diselidiki” dengan mengukur besar dan arah gaya terhadap sebuah muatan tes disembarang titik. Ada metode lain lagi, yaitu seperti diperlihatkan dalam gambar 25-22. Dua buah pelat konduktor berukuran kecil yang luasnya A, masing-masing diberi pemegang yang terbuat dari bahan isolator, ditempatkan dalam medan dengan mukanya bersentuhan. Muatan yang sama besar dan berlawanan tanda terinduksi pada permukaan sebelah luar pelat, seperti diperlihatkan, dan dengan mengabaikan efek tepi, besar medan di luar pelat tidak berubah. Kerapatan muatan yang terinduksi pada tiap pelat ialah σ/E, dan muatan total q pada masing-masing pelat ialah
 …. (25-14)
Jika kedua pelat tersebut lalu dipisahkan tetapi masih tetap dalam medan, muatan pada masing-masingnya “terperangkap”, dan dapat diukur dengan memasukkan pelat itu ke dalam sebuah ember es Faraday yang dihubungkan pada sebuah electrometer, seperti dalam gambar 25-14. Jika electrometer itu sudah dikalibrasi dan jika diketahui, maka intensitas E dapat dilakukan berdasarkan persamaan (25-14). Selain itu prosedur ini dapat pula dianggap sebagai suatu metode eksperimental untuk menentukan konstanta jika E sudah diukur dengan muatan tes.
Gambar 25-22 memperlihatkan kedua pelat itu tegaklurus pada medan. Jika arah medan tidak diketahui sebelumnya, maka pengukuran dilakukan beberapa kali dengan mengubah-ubah orientasi pelat. Muatan yang terinduksi adalah maksimum bila kedua pelat tegaklurus pada medan, sehingga eksperimen tersebut memberikan sebuah metode untuk mengetahui arah medan yang tidak diketahui, dan juga besarnya. Semua persamaan yang telah kita derivasi untuk intensitas listrik yang ditimbulkan oleh distribusi muatan yang sederhana tercantum dalam tabel berikut.
MEDAN MAGNET DI SEKELILING DISTRIBUSI MUATAN YANG SEDERHANA
-
|
