Fizikhodisalarningturlisanoqsistemalaridainvariantligivaularningmatematikifodasi

S0
(4)

Keyingiishlarnibajarishdanoldinoliymatematikakursidanquyidagilarniesgaolaylik.
Yeslatma. 1. Agarbizgaikkio’zgaruvchili^fx,yfunksiyaberilganbo’lsauning
differensialiquyidagichatopiladi.

df(x,y)^f
x
dx^fdy
y

2. 
   Agarxuddishufunksiyaningchekliorttirmasiyokio’zgarishinitopishtalabetilsauquyidagicha
   

f(x,y) 
f(x,y)
f(x,y)^fx^fy_,

^{0 0} x y
xxx₀,yyy₀

2. 
   Xuddishufunksiyaningvariasiyasiesa
   

f(x,y) ^f
x
x^fy
y

Yuqoridagi ikkita formuladan uchinchisining farqivariasiyasichekli o’zgarishidir.
x,y
o’zgaruvchining

Ta’sir ifodasidan ko’rinib turibdiki uning qiymati integral ostidagi
funksiyaning ko’rinishiga bog’liq, ya’ni u Lagranj funksiyasining funksionalidir.Ta’sirvariasiyasi
t₂ t₂ t₂
SS'S_L'dt_Ldt_[L'L]dt0
t₁ t₁ t₁

L'L
LL^Lq^Lq^

q q^
Demak,ta’sirningvariasiyasiniquyidagichatopishmumkin.
^t2L L ^
S_qq_qq^_dt

1
_t 
q^^dq^d(q)
^dt^ dt

 

^t2^L Ld ^
S_qq_qdt(q)_dt

1
_t 
^t2L ^t2 Ld

S_qqdt_
q^
(q)dt

dt

t₁ t₁

Bo’laklabintegrallashqoidasidanfoydalanamiz
_udvuv_vdu

L d d^L^

q^
U,
dV (q)dt,
dt
Vq,
dU ^{ }
dt q^

^t2Ld
 

t₁
^L t ^t2^dL

_ (q)dt
q2 _  ^qdt
(5)

1
_tq^dt
q^
t1 dt_q^_

Masalaningqo’yilishigako’rayuqorivapastkichegaradaumumlashgankoordinatalarvariasiyasinolgateng.Demak,ta’sirvariasiyasiniquyidagichayozish mumkin:
^t2^L d^L^

S_q_dt_q^_qdt0
(6)

t₁

 _

Ko’rinibturibdikioxirgisharto’rinlibo’lishiuchunquyidagishartbajarilishilozim
d^L^ L

 ^




dt q^ q
(7)

^Lq^,
q^
q^
L_q
q
^dq


dt
f(q^)
Laq^2bq²


E^mq²,
k ₂
am/2


L^mq²

2

oxirgimunosabaterkinya’nihyechqandaytashqikuchta’sirqilmayotganzarrachaning klassikLagranjfunksiyasi.


Lagranjfunksiyasiningayrimmuhimxossalari
Engkichikta’sirprinsipigako’raixtiyoriyfizikaviysistemaningharakattenglamasiquyidagiko’rinishdabo’lishima’lumedi
d^L^ L

 




dt q^ q
(8)

Buharakattenglamasinikeltiribchiqarishdabizbiror-birjoydaLagranjfunksiyasiningoshkorko’rinishidanfoydalanganimizyo’q.Shuninguchunbutenglamaixtiyoriysistemauchuno’rinli.Lagranjfunksiyasiningkonkretko’rinishlarini topishdan oldin uning (8) harakat tenglamasiga asoslangan ayrimxossalariniko’rib chiqamiz.

1. 
   AgarsistemaningLagranjfunksiyasigabirordoimiyadditivkattalikishtirok
   

etsa
L^LA
Aconst. Birinchiharakattenglamasio’zgarmaydi.

L'_L_, L'_L_;
q^ q^ q q
AgarqaralayotganLagranjfunksiyasio’zarota’sirlashmaydiganerkinzarralarsistemasidan iborat bo’lsa, bunday sistemaning Lagranj funksiyasi alohida zarralarLagranjfunksiyalariningyig’indisidaniborat bo’ladi.
L_L_i
i

2. 
   Engkichikta’sirprinsipigako’raharqandaysistemaningta’sirfunksiyasiuningLagranjfunksiyasidan olingan quyidagi integralorqalianiqlanadi.
   

t₂
S_L(q,q^)dt
t₁
Bundanko’rinibturibdikiLagranjfunksiyasiquyidagishartniqanoatlantirsa

L'L^f,
t
ff(q,q^)

ya’ni ixtiyoriy umumlashgan koordinata, umumlashgan tezlikdan bog’likfunksiyaningvaqt bo’yichato’liq differensialigafarqqilsa

t₂ t₂
^t2 df

t₁
S'
_L'dt
t_1
Ldt_

dt
t₁ t₁
dtS
f(q,q^)|^t2
S'0

t₁
Sf(q,q^)|^t2
masalaning qo’yilishiga ko’ra sistemaning
^t₁ va
^t₂ vaqt

momentlaridagi umumlashgan koordinata va tezliklari tayinbo’lganligi uchunikkinchi hadning variasiyasinolgateng.Bizquyidagi muhimnatijani olamiz:
S0_.
Agar qaralayotgan sistemaning Lagranj funksiyasi bir-biridan to’la hosilaga farqqilsaularningharakattenglamalaribirxilko’rinishgaegabo’ladi.Lagranjfunksiyasiningbuxususiyatidanunisoddalashtirishmaqsadidafoydalaniladi.
Masalaniumumiyholdaqo’yamiz.Farazqilaylikbizgazarraningtenglamasima’lumbo’lsin.
Fma^→
Agar bizga biror Ksanoq sistemasi berilgan bo’lib, u K sistemaga nisbatandoimiy tezlik bilan harakatlanayotgan bo’lsa (5-rasm), zarraning bu sistemalardagiradiusbo’lsa,zarraningbusistemalardagiradiusvektorlariquyidagichabog’langanliginiko’rish mumkin.
r^→r^→'Vt
Bundavaqtbarchasanoqsistemalaridabirxildabo’ladi.Galileyprinsipigako’ra
vaqt mutlaqo ya’ni vaqtning davomiyligi sanoq sistemaning qanday doimiy tezlikbilan harakatlanishiga bog’liq emas, ya’ni butun koinot uchun yagona vaqt mavjudbo’ladi.
tt^

K sistemauchunharakattenglamasi:


d²r^→

Fm_dt2

→
shuharakat tenglamasiniK^sanoq sistemasiuchunyozamiz.

v^^dr

dt

dt^dt
vv^V
v^
vV


dL^dL^q^,q^d

dt

L^_
q^
L^
q²

dL^q^,q^^Ldq^^Ldq^
q q^
dq^dfq,q^^dfdq^fdq^

dq q


L^_L^_dq^_L^_eL^_d^f


dq^fdq^^L



q^ q^ dq^ q q dq^q
q _
q^


^A) _L^_^f
q^_t
_q^L^


q^q
q^ q^
q^q^




_B) L^_L^_L^f

q_f

q^_;

q^ q^ q^q
q^ q^
q^


AvaBnatijalarniEyler-lagranjtenglamasigaqo’yib ^f va^funksiyalarnianiqlashmumkin,ya’niKvaK^sistemalarkoordinatalarivavaqtnialmashtirish

x^
xt
t^xt

1

bo’lsa,uholda
0
1

Download 1.04 Mb.