« YOKI » amalining haqiqiylik jadvali
1.1-jadval
x1
|
x2
|
y
| |
0
|
0
|
0
| |
0
|
1
|
1
| |
1
|
0
|
1
| |
1
|
1
|
1
|
Dizyunksiyani bajaradigan element dizyunktor, ya’ni boshqacha qilib aytganda «YOKI» (ИЛИ) elementi deb nomlanadi.
O’zgaruvchilarning konyunksiyasi (mantiqiy ko’paytirish) quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
y=x1 x x2 x … x xn. (1.2)
Keltirilgan tenglamadan kelib chiqadiki, agar hech bo’lmaganda bitta o’zgaruvchi nolga teng bo’lsa, va bu yerda x1=1, va x2=1, va…., va xn=1, y=1 sharti bajariladigan bo’lsa, shunda bu funktsiya ham nolga teng bo’ladi. Shuning uchun bu amal yana «VA» (И) amali deb ham nomlanadi.
«VA» amalining ikki o’zgaruvchili haqiqiylik jadvali 1.2-jadvalda keltirilgan.
Keltirilganidan tashqari konyunksiyani yozilishini quyidagi shakllari ham uchrab turadi:
Konyuksiyani bajarib beradigan element konyuktor yoki «VA» (И) elementi deb nomlanadi.
«VA» amalining haqiqiylik jadvali
1.2-jadval
x1
|
x2
|
y
| |
0
|
0
|
0
| |
0
|
1
|
0
| |
1
|
0
|
0
| |
1
|
1
|
1
|
Inversiya (mantiqiy inkor qilish) ko’rinishida yozilib, «y YO’Q x» deb o’qiladi va «YO’Q» (НЕ) amali deb ataladi (1.3-jadval).
Mantiqiy inkor jadvali
1.3-jadval
Inversiyani bajaruvchi element invertor yoki «YO’Q» elementi deb ataladi (asosiy mantiqiy elementlar va funksiyalar, ularning ishlanmalari qo’shma ma’lumotlarda keltirilgan).
Agar (1.1) tenglikdagi dizyunksiyani konyuksiyaga almashtirilsa va barcha o’zgaruvchilarni qayta invertlansa, buning natijasi funksiyaning oldingi qiymatiga nisbatan inversiya darajasi yuqoriroq bo’ladi. Dar haqiqat, agar x1= x2= 1, x3= x4=…= xn=0 bo’lsa, y1=1ga teng bo’ladi. Inversiyadan song esa x1=x2=0, x3= x4=…= xn=1 va bu o’zgaruvchilarning konyuksiyasi y2=0 bo’ladi, ya’ni y1 inversiyaga teng bo’ladi.
Shu tarzda, agar (1.2) tenglikdagi konyunksiyani dizyunksiyaga almashtirilsa va hamma o’zgaruvchilar invertlansa, natijada funksiyaning oldingi qiymati inversiyasi kelib chiqadi. Keltirilgan xususiyatlar Bul algebrasining ikkilamchilik tamoyilini ifoda etadi.
Mantiqiy algebraning asosiy nisbatlari. Quyida keltirilgan mantiqiy algebraning asosiy tenglamalari. ikki o’zgaruvchining xususiy xolati uchun yozilgan bo’lib, o’zgaruvchining istalgan qiymati uchun o’rinli bo’ladi:
x+0=x; x+1=1; x+x=x; x+ =1
x o’rniga 0 va 1 qiymatlarini qo’yib, ularning haqiqiyligini oson aniqlash mumkin.
O’zgaruvchilarni qo’shish va ko’paytirishda amal qiluvchi mantiqiy algebrasining asosiy qonunlari.
O’rin almashtiruvchi qonuni:
x1+x2=x2+x1; x1x2=x2x1;
Turkumlovchi qonuni:
(x1 + x2)+x3 = x1 + (x2 +x3); (x1 x2) x3=x1 (x2 x3);
Taqsimlovchi qonuni:
x1 (x2 +x3) = x1 x2 + x1 x3 ; x1 + x2 x3 = (x1 + x2)(x1 + x3).
Oxirgi tenglikni haqiqiyligini aniqlash uchun (oddiy algebrada o’xshashlikka ega bo’lmagan) x1 = x1 (1 + x2 + x3), x1 = x1 x x1 tenglikdan foydalanib isbotlash mumkin. Darhaqiqat:
x1 + x2 x3 = x1 (1 + x2 +x3) + x2 x3 = x1 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = x1 x1 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =
(x1 + x2)(x1 + x3).
Amaliyotda mantiqiy algebraning boshqa qonunlari ham qo’llaniladi:
Yutilish qonuni:
x1 + x1 x2 = x1; x1 (x1 + x2) = x1.
Ikkala tenglikni ham isbotlash oson:
x1 + x1 x2 = x1 (1 + x2 ) = x1; x1 (x1 + x2) = x1 x1 + x1 x2 = x1 + x1 x2 = x1 (1 + x2) = x1.
Jipslashish qonuni:
x1 x2 + x1 = x1; (x1 + x2) x (x1 + ) = x1.
Bu tengliklarning haqiqiyligini aniqlash oson:
x1 x2 + x1 = x1 (x2 + ) = x1,
(x1 + x2) x (x1 + ) = x1 x1 + x1 x2 + x1 + x2 =
x1+ x1 x2 + x1 = x1 (1+ x2 + ) = x1.
Inkor qilish qonuni (inversiya qonuni, De Morgan teoremasi):
;
Yoki boshqacha shaklda, har bir tenglamaning ikkala qismining inversiyalangan ko’rinishiga ega bo’lamiz:
x1 + x2 = ; x1 + x2 = .
Bu ifodalarning haqiqiyligi Bul algebrasining ikkilamchi tamoyilidan kelib chiqadi.
Mantiqiy funksiyalarni tuzish. Gohida, oddiy mantiqiy funksiyani analitik shaklda og’zaki aniqlikdan kelib chiqqan holda, analitik shaklda yozish mumkin. Umumiy holda analitik shaklni olish uchun, haqiqat jadvalidan foydalaniladi.
Agar mantiqiy funksiya berilgan bo’lsa (1.4-jadval), agarda 2,3,4,6 to’plamlarida y=1 bo’lsa, x3x2 , yoki x3 x1, yoki x3 , yoki x1 bo’lsa, u holda konyuksiyalarning har biri birga teng bo’lishi kerak. Agarda xi bu to’plamda nolga teng bo’lsa, u invers ko’rinishda yoziladi (bo’lmasa konyuksiya birga teng bo’lmaydi. Shunday qilib, 1.4-jadvalda keltirilgan funksiyani quyidagi ko’rinishda yozamiz:
(1.3)
Mantiqiy funksiya jadvali
1.4-jadval
to’plam №
|
x1
|
x2
|
x3
|
y
| |
0
|
1
|
1
|
1
|
0
| |
1
|
1
|
1
|
0
|
0
| |
2
|
1
|
0
|
1
|
1
| |
3
|
1
|
0
|
0
|
1
| |
4
|
0
|
1
|
1
|
1
| |
5
|
0
|
1
|
0
|
0
| |
6
|
0
|
0
|
1
|
1
| |
7
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Mantiqiy funksiyaning bunday shakli takomillashgan dizyunktiv normal shakli (TDNSH) deyiladi. Bu ko’rinishdagi shakl oddiy kolyunksiyalarning mantiqiy yig’indisini namoyon etib, va ularning har biri o’z tarkibida bir marta ishlatib bo’linadigan tog’ri yoki invers ko’rinishidagi barcha o’zgaruvchilardan tashkil etgan bo’ladi.
Bunday turdagi konyunksiyalarga o’zgaruvchilarning yig’indisi kirmaydi, shuningdek ikki yoki undan ortiq o’zgaruvchilarning ko’paytmasini inkor etadi. TDNSH shaklining tarkibiga kiruvchi konyunksiyalar minterma yoki konstituenta birliklari deb ataladi.
Konyunksiyalarning mantiqiy yig’indisi (1.3) dan farqli tarafi shundaki, barcha konyunktsiyalar yoki bazida bir xillari, hamma o’zgaruvchilarni (to’gri yoki invers ko’rinishida) o’z ichiga olmaydi va dizyunktiv normal shaklni (D.SH.) namoyon etadi.
Mantiqiy funksiyalar faqatgina bir qiymati bilan emas, balki 0 qiymati bilan ham tuzilishi mumkin. 1.4-jadvaldan kelib turibdiki, 0,1,5,7 to’plamida y=0 bo’ladi, buning uchun esa dezyunksiya 0 ga teng bo’lishi lozim. Agar berilgan to’plamdagi o’zgaruvchi birga teng bo’lsa, unda dezyunksiyaga uning inversiyasi kirishi kerak bo’ladi. 1.4.-jadvalda keltirilgan funksiya barcha ko’rsatilgan to’plamlarda 0 ga teng bo’ladi, agarda tuzilgan dezyunksiyalarning kolyunksiyasini amalga oshirsak:
Y= + + (1.4)
Bu yerda y=0 quyidagi shartlarni ta’minlab beradi: dagi birinchi ko’paytma (x3=x2=x1=1 bo’ladi, ya’ni № 0 to’plam), dagi ikkinchi ko’paytma (x3=0, x2=x1=1 bo’ladi, ya’ni № 1 to’plam), dagi uchinchi ko’paytma (x3=x1=0, х2=1, ya’ni № 5 to’plam), x3=x2=х1=0 dagi to’rtinchi ko’paytma, ya’ni № 7 to’plamdir.
1.4. funksiya ifodalangan shakl, takomillashgan konyuktiv normal shakl (T.D.N.SH.) deyiladi. Bu shakl o’zida diziyunksiyalarning mantiqiy ko’paytmasini namoyon etadi va ularning har biri bir martadan ortiq bo’lmagan tog’ri yoki invers ko’rinishidagi barcha o’zgaruvchilarni o’z ichiga oladi. Ko’paytmaga kiruvchi ko’paytiruvchilar (dizyunksiyaning) makstermalari yoki konstituentalari deyiladi.
Dizyunksiyalarning mantiqiy ko’paytmalari, (1.4.) ifodadan shunisi bilan farq qiladiki, ularning ba’zilari yoki barchasi ham bo’lishi mumkin (to’gri yoki invers ko’rinishdagi) hamma o’zgaruvchilarni o’z ichiga olmaydilar va bu bilan konyuktiv normal shaklni (K.N.SH.) ifoda etadilar.
Ma’lumki, haqiqat jadvalida aniq ifodalangan bitta mantiqiy funksiya bir paytning o’zida T.D.N.SH. va T.K.N.SH. ga yoziladi va bu bilan bu shakllarni boshqa ko’rinishga aylantirish imkonini yaratadi. Mantiqiy funksiya yagona T.D.N.SH. va T.K.N.SH. ga ega bo’ladi, bu holat chambarchas holda ularni keltirilish uslubiyatiga asoslanadi.
|
