O`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
Quyidagi
differensial tenglama o`zgaruvchilari ajraladigan tenglama deyiladi. Berilgan tenglamani ga bo`lsak
ko`rishiga keladi. Buni hadma-had integrallasak
bo`lib, berilgan tenglamaning oshkormas ko`rinishdagi umumiy yechimini beradi, yani tenglamaning integralini ifodalaydi.
Misollar: 1. tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamani ga bo`lib
ifodani olamiz va uni integrallaymiz:
, yoki .
berilgan tenglamaning umumiy yechishi bladi.
Endi bo`lsin, yani . Bu berilgan tenglamaning yechimi bo`ladi, lekin u umumiy yechimdan s q 0 da kelib chiqadi.
Javob: .
2. 200C havo xaroratida tandirdan uzilgan non xarorati 20 daqiqada 1000C dan 600C ga tushadi. Qancha vaqtda uning harorati 300C ga tushadi?
Yechish. N'yuton qonunga asosan sovush tezligi harorat farqiga bo\liq bo`lganligi uchun tenglama qo`yidagi ko`rinishga ega:
, yoki , bundan .
Bu umumiy yechimni potensirlab
T 20 cekt
ni topamiz. Bundan t va T da с 800C ga teng. t va T da bo`lib, . bo`lsa, dan daqiqa bo`ladi.
Javob: 1 soat.
3. tenlamaning umumiy va (4;1) nuqtadan o`tuvchi xususiy yechimini toping?
Yechish. Berilgan tenglamani o`zgaruvchilarini ajratib, integrallaymiz.
;
; .
Endi Koshi masalasini yechamiz:
; ;
Javob. -umumiy ; xususiy yechim.
Bir jinsli differensial tengamalar
funksiya m o`lchovli bir jinsli deyiladi, agarda quyidagi
tenglik o`rinli bo`lsa.
tenglama bir jinsli deyiladi, agarda va lar bir hil o`lchovli bir jinsli funksiyalar bo`lsa.
Bir jinsli differentsial tenglamalarni ko`rinishga keltirish mumkin. Bunday tenglamalar ko`rinishidagi almashtirish yordamida o`zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriladi va integrallanadi.
Misol. tenglamani umumiy yechimini toping.
Yechish. funksiyalar ikki ulchovli bir jinslidir. almashtirishni qo`llasak tenglama qo`yidagi ko`rinishga keladi.
yoki .
Bundan ifodani integrallab tenglamaning umumiy yechimini topamiz. dan boshlan\ich o`zgaruvchiga qaytib yechimini topamiz.
|
