|
Differensial tenglamalar sistemasi
|
| bet | 9/9 | | Sana | 16.11.2023 | | Hajmi | 1,48 Mb. | | #99443 |
Bog'liq Differensial tenglamalar uslubiy ko\'rsatma(2020-2021)Differensial tenglamalar sistemasi
Normal differensial tenglamalar sistemasi
Quyidagi tenglamalar sistemasi
… ... … … … … …
normal tenglamalar sistemasi deyiladi, bunda lar o`zgaruvchilarning no`malum funksiyalari.
Agar normal tenglamaning o`ng tarafi larning chiziqli funksiyasi bo`lsa, u chiziqli differensial tenglamalar deyiladi.
Ba’zi hollarda tenglamalar sistemasidan o`zgaruvchilarni yo`qotish usuli bilan bir o`zgaruvchili yuqori tartibli differnsial tenglamaga keltirish mumkin.
Misol: sistemaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Birinchi tenglamani bo`yicha differensiallaymiz: va hosil bo`lgan tenglamadan va larni yo`qotamiz va tenglamaga kelamiz. xarakteristik tenglamani yechib. ildizga ega bo`lamiz. Demak, uchun umumiy yechim bo`ladi. Birinchi tenglamadan foydalanib, u ni topamiz: . Berilgan sitemaning umumiy yechimi quyidagicha bo`ladi:
O`zgarmas koeffitsiyentli bir jinsli differensial tenglamalar sitemasi
-------------------------------
tenglamalar sitemasini matritsa ko`rinishda yozish mumkin:
Bu yerda
, , .
Sistema yechimini … ,
ko`rinishda qidiramiz, bunda . larni sistemaga qo`yib, larga nisbatan chiziqli tenglamalar sistemasiga kelamiz:
… … … … … … ... … … … …
Bu sistema noldan farqli yechimga ega bo`lishi kerak, demak asosiy determinant nolga teng, ya`ni
bo`lishi kerak, natijada ga nisbatan - darajali tenglama hosil bo`ladi.
Oxirgi tenglama А matritsaning yoki berilgan differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Uning ildizlari А matritsaning xos sonlari deyiladi. Har bir xos songa mos xos vektori to`\ri keladi:
бирлик матрица.
Xos vektorlar, albatta xarakteristik ildiz (xos son) ning xususiyatiga bog’liqdir.
Xarakteristik ildizlar haqiqiy va harhil bo`lsin, ya`ni . Har bir ga xos vektor mos keladi. Tekshirib ko`rish mumkinki, quyidagi funksiyalar sistemasi
… … … … … … … … … … … … ,
bo`nda - ixtiyoriy o`zgarmaslar, berilgan differensial tenglamalar sistemasinig umumiy yechimi bo`ladi.
Misol.
sistemaning umumiy yechimni toping.
Yechish. Xarakteristik tenglamani tuzamiz
,
xos son uchun,
,
desak (2;-1) xos vektor mos keladi.
xos son uchun
(1;1) xos vektor mos keladi.
Demak, umumiy yechim
. Xarakteristik ildizlar ichida oddiy kompleks ildiz bo`lsin, masalan
. Bu ildizlarga yechimlar to`\ri keladi, - lar xos vektorlar. Biz bilamiz kompleks yechimining haqiqiy va kompleks qismlari ham yechim bo`ladi. Shuning uchun biz quyidagi hususiy yechimlarni olamiz:
bu yerda lar haqiqiy sonlar bo`lib, va lar orqali ifodalanadi.
Misol.
sistemaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Xarakteristik tenglamani tuzamiz:
,
xos son uchun
,
desak, bo`ladi.
Bundan xususiy yechimlar
topamiz va umumiy yechimni yozamiz
.
Adabiyotlar.
N.S. Piskunov. «Differensial va integral hisobi». Toshkent, 1996.
P.Ye. Danko va boshqalar. «Vo`sshaya matematika» chastь 2. Moskva, 1999.
R.A. Anvarov «Oliy matematika» fanidan topshiriqlar. Jizzax, 2004.
|
| |
