|
Bir jinsligiga keltiriladigan differensial tenglamalar
|
| bet | 3/9 | | Sana | 16.11.2023 | | Hajmi | 1,48 Mb. | | #99443 |
Bog'liq Differensial tenglamalar uslubiy ko\'rsatma(2020-2021)Bir jinsligiga keltiriladigan differensial tenglamalar
Quyidagi
tenglamani qaraymiz.
A) agar bo`lib, va to`\ri chiziqlarning kesishish nuqtalari bo`lsa, almashtirish yordamida bir jinsli tenglamaga,
B) agar bo`lsa, almashtirish bilan o`zgaruvchilari ajraladigan teglamaga keladi.
Misollar. 1. тенгламанинг umumiy yechimini toping.
Yechish. va to`\ri chiziqlarning kesish nuqtasi (-1; 1) bo`lib, kabi almashtirishdan, tenglama quyidagi ko`rinishni oladi.
Bu bir jinsli tenglama bo`lib, , almashtirishdan
o`zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keladi va uning umumiy yechimi bo`ladi, yoki va kvadratga ko`tarish natijasida bo`ladi. dan eski o`zgaruvchilarga qaytsak, tenglamaning umumiy yechimi bo`ladi.
2. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. . Demak, almashtirish bajarsak, berilgan tenglama yoki ko`rinishga keladi. O`zgaruvchilarni ajratib, integrallasak ёки bo`ladi. orqali eski o`zgaruvchilarga qaytsak umumiy yechimini topamiz.
To`la differensialli tenglama
Agar quyidagi
differensial tenglama
Eyler shartini qanoatantirsa, to`la differensialli tenglama deyiladi. Demak bunday tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning bir bo\lamli sohada to`la differensiali bo`lar ekan. Agar bu tenglamani ko`rinishida yozsak, umumiy yechimi bo`ladi. funksiyani quyidagi formuladan topish mumkin:
Bunda ixtiyoriy bo`lib, integrallar yaqinlashuvchi bo`lishi kerak.
Agar Eyler sharti bajarilmasa, u holda integrallovchi ko`paytuvchi yordamida tenglamani to`la differensialli tenglamaga olib kelish mumkin. Agar ifoda faqat yning funksiyasi bo`lsa, integrallovchi ko`paytuvchi quyidagi formuladan topiladi xuddi shunday, agar ifoda faqat u ning funksiyasi bo`lsa, integrallovchi ko`paytuvchi formuladan topiladi.
Misollar. 1. Quyidagi
tenglamaning umuiy yechimini toping.
Yechish. Tenglamada bo`lib, ga teng. Demak, Eyler sharti bajarilgan va chap tomon biror funksiyaning to`la differensialli, yani ni bo`yicha integrallaymiz:
.
Oxirgi ifodani u bo`yicha differensiallab, bilan tenglashtiramiz, va bundan , yani ni topamiz. Shunday qilib tenglamaning umumiy yechimi bo`ladi.
2. Quyidagi tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Tenglamada bo`lib topamiz: . Demak, integrallovchi ko`paytuvchi х ning funksiyasi bo`lar ekan, ya’ni . Berilgan tenglamani ga ko`paytirib, to`la differensialli tenglamani topamiz va uni integrallab, umumiy yechimini topamiz: .
|
| |
