|
Yuqori tartibli chiziqli tenglamalar
|
| bet | 6/9 | | Sana | 16.11.2023 | | Hajmi | 1,48 Mb. | | #99443 |
Bog'liq Differensial tenglamalar uslubiy ko\'rsatma(2020-2021)Yuqori tartibli chiziqli tenglamalar.
Asosiy tushuncha.
Quyidagi (1)
tenglama -tartibli chiziqli tenglama deyiladi. Bu yerda funksiyalar biror oraliqda berilgan va uzluksizdir. (1) tenglama chiziqli bir jinsli bo`lmagan, yoki o`ng tarifi bor tenglama deyiladi. Agar bo`lsa, tenglama chiziqli bir jinsli deyiladi.
Bir jinsli tenglamaning biror yechimi bo`lsa, almashtirish bilan (1) tenglama tartibini bittaga pasaytirish mumkin. -yangi noma’lum funksiya.
Misol. hususiy yechim bo`lsa, tenglama tartibini pasaytiring.
Yechish. almashtirishni bajarib
tenglamaga qo`ysak, quyidagi ikkinchi tartibi tenglamaga kelamiz:
Chiziqli bir jinsli tenglamalar
Chiziqli bir jinsli tenglamalarning umumiy yechimi hakidagi teoremani keltiramiz.
Teorema. Agar chiziqli bir jinsli tenglamallarning chiziqli erkli yechimlari bo`lsa, u holda ( lar ixtiyoriy o`zgarmaслар) berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo`ladi.
Eslatma. funksiyalar chiziqli erkli deyiladi, agarda tenglik faqat va faqat bo`lganda bajarilsa.
ta oraliqda tartibli hosilasi bilan uzluksiz funksiyalarning chiziqli erkli bo`lishining yetarlilik sharti quyidagicha, agar Vronskiy determinanti
da noldan farqli bo`lsa, ya’ni
oraliqda chiziqli erkli yechimlar tenglamaning fundamental yechimlari deyiladi. Vronskiy determinanti uchun Liuvill-Ostrogradskiy formulasi quyidagicha yoziladi:
Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglama
uchun biror xususiy yechimi bo`lsa, ikkinchi chiziqli erkli yechimini Liuvill-Ostrogradskiy formulasidan quyidagicha topiladi:
Misollar. 1. Quyidagi funksiyalar o`zining aniqlanish sohasida chiziqli erklimi?
А)
Yechish. .
Bundan . Bularni ayirsak ; . Demak , bo`lib, desak xususiy holda (-3;1;1) yechimga ega bo`lamiz, ya’ni funksiyalar chiziqli bo\liq ekan.
B) 1,
Yechish. , bu tenglik da faqat va faqat bo`lganda o`rinli. Demak, chiziqli erkli.
2. Quyidagi funksiya yechimi bo`lgan tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Livuill-Ostrogradskiy formulasiga asosan
Demak, umumiy yechim quyidagi bo`ladi:
|
| |
